Untervektorräume

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Katja_2107 Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume
Meine Frage:
Ist U=Menge von x element V: x1²+x2²=1 ein Untervektorraum von R³ ?

Meine Ideen:
also die menge ist nicht leer, da (1,1,1) enthalten ist.
Stimmt das?
aber das 2. axiom mit der abgeschlossenheit der addition (u,v element U =>u+v element U) funktioniert meiner meinung nach nicht, also kann es kein Unterraum sein?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wäre eine andere Vorgehensweise effektiver. Jeder Unterraum muss den Nullvektor enthalten (darum nimmt man den auch meistens um zu zeigen, dass die Menge nicht leer ist). Die Menge kann also durchaus Elemente enthalten, solange der Nullvektor nicht enthalten ist, kann es kein Unterraum sein.
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, gut zu wissen, danke.
also da die menge den nullvektor ja nicht enthält kann es kein Unterraum sein.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, also erübrigt sich die Frage der Abgeschlossenheit, mehr musst du gar nicht überprüfen (und sparst dir dadurch unnötigen Rechenaufwand Augenzwinkern )
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

das ist gut smile .
Und wie macht man das dann, wenn man eine solche menge hat:
U= Menge von x element V : x(0)=x(1) V=Abb(R,R)

gib ich jetzt eine Funktion an, bei der x(0)=x(1), um zu zeigen, dass die menge nicht leer ist?
also sowas wie f(x)= 2
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du das bitte mal mit unserem Formeleditor aufschreiben? Ich find das so unheimlich schwer zu lesen...

Es sei , meinst du das?
 
 
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, sorry...
bei mir steht das:


Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, abgesehen von anderen Bezeichnungen sind die beiden gleich.

Fangen wir mit dem Kriterium an, das wir eben angewendet haben, was würdest du über den Nullvektor sagen?
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

wie wende ich denn darauf den nullvektor an?
V ist doch die Menge aller Abbildungen. Das sind doch jetzt auch Funktionen und nicht Vektoren, oder?
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich meine, dass sind doch jetzt nicht ausschließlich vektoren, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren, egal ob es sich dabei um Spaltenvektoren, Zeilenvektoren, Funktionen, Polynome, Matrizen...handelt, das ist erstmal vollkommen egal.
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

gut.
und für den nullvektor trifft ja dann die behauptung x(0)=x(1) nicht zu?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn in unserem Fall der Nullvektor?
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

na normalerweise ja (0,0,0)=0
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann lies nochmal das hier:

Zitat:
Original von Iorek
Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren, egal ob es sich dabei um Spaltenvektoren, Zeilenvektoren, Funktionen, Polynome, Matrizen...handelt, das ist erstmal vollkommen egal.


Du hast da einen Zeilenvektor angegeben, wir haben hier aber keine Zeilen als Vektoren, also kann da etwas nicht stimmen.

Ich muss jetzt gleich leider weg, wer mag kann hier gerne übernehmen smile
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

genau deswegen komm ich ja nicht klar.
also ist der nullvektor hier nur 0 ?
Simooon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Katja2107
ok, sorry...
bei mir steht das:




Mach dir mal Klar wie die Elemente von V aussehen.
Du hast ja den Vektorraum aller Abbildungen von nach .
Also sind deine "Vektoren" (der Begriff ist verwirrend hier) Abbildungen ( a.la f(x)=... )

Darum lässt sich der Nullvektor aus V auch nicht als Koordinaten oder nur durch 0 schreiben.
Der Nullvektor vom ist also die Abbildung die für jeden Wert den du einsetzt null ergibt.
Ich hoffe das hilft
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

ok ja das macht einiges schon mal klarer.
also ist der nullvektor enthalten, weil ich ja die konstante funktion f(x)=0 haben kann und dann kann ja x(1) =x(0) sein
oder?
Simooon Auf diesen Beitrag antworten »

jop, ganz genau.
wenn f(x)=0 für alle x aus R, dann gilt natürlich auch
f(0)=0=f(1).
Also ist der Nullvektor in diesem Untervektorraum.
Katja2107 Auf diesen Beitrag antworten »

und um die abgeschlossenheit der addition zu sagen, sag ich dann:
f,g element von U
(f+g)(0)= f(0)+f(0)=f(1)+f(1)= (f+g)(1)
und deswegen ist auch f+g element von U


kann man das so machen?
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