Beweis für nicht zyklisch

06.05.2010, 20:10	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für nicht zyklisch Meine Frage: Hey habe da mal eine Frage. In einer Aufgabe soll man beweisen dass die Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{6} \times \mathbb{Z}_{9} \end{eqnarray}$ nicht zyklisch ist. Meine Ideen: Abelsch ist sie..damit kann ich also nicht wiederlegen dass sie nicht zyklisch ist..und ich kann ja schlecht das direkte Produkt von jedem Element aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{6} und \mathbb{Z}_{9} \end{eqnarray}$ bilden und prüfen, ob irgendein Produkt (=Element der Gruppe) Erzeuger ist..hat jemand einen Tipp wie man das besser angehen kann?Danke schonmal lg Dominik
06.05.2010, 20:18	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck dir doch mal die Ordnungen der Elemente an.
06.05.2010, 21:10	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
die gruppe hat 54 elemente ein erzeugendes element müsste also die ordnung 54 haben aber wie zeige ich dass kein element der 54 diese ordnung hat ausprobieren dauert ja stunden
07.05.2010, 07:36	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, was ist den die "schlimmste" Kombination von Ordnungen aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_9 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_6 \end{eqnarray}$ die auftauchen kann und wie hängt die Ordnung der Elemente aus diesen Gruppen zusammen mit den Ordnungen der Elemente im direkten Produkt?
09.05.2010, 18:31	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
ja diesen satz mit dem kgv der beiden ordnungen haben wir aber noch nicht bewiesen werde ihn also wohl nicht verwenden dürfen..gibt es noch andere möglichkeiten???
10.05.2010, 14:26	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt Ihr so etwas wie: "Für jeden Teiler der Gruppenordnung einer endlichen, zyklischen Gruppe gibt es genau eine Untergruppe dieser Ordnung." gehabt? Ansonsten kannst Du auch abzählen, wie viele Elemente der Ordnung 3 es in einer zyklischen Gruppe der Ordnung 54 und wie viele es in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_6\times \mathbb{Z}_9 \end{eqnarray}$ gibt. Gruß, Reksilat.
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10.05.2010, 22:44	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
und wieso genau ordnung 3?danke
10.05.2010, 22:48	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil 3 den ggT(6,9) teilt. Genauer warum man 3 wählt wirst du nur mit mehr Theorie beantworten können

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