Supremum/Maximum

28.10.2006, 17:59

Smasher

Supremum/Maximum

Hallo,
ich habe mir über folgendes Gedanken gemacht und wollte mal wissen wo da der Denkfehler ist.
Es ging in der Vorlesung Ana1 darum, das ein Supremum einer Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht immer auch das Maximum ist.

Das Supremum einer Menge $\begin{eqnarray*} M:=\{ x | x \in \mathbb R , x<5 \} \end{eqnarray*}$ ist ja 5. Aber 5 ist kein Maximum da nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten.
Ich kann mir doch eine Zahl $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so definieren, dass es die größte Zahl kleiner als 5 ist. Dies würde ja 4.99999..... entsprechen. Welche wiederum sowohl ein Supremum von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wäre als auch Maximum von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Einer meiner Freunde meinte dann, das das nicht gehen würde weil es 4.9 periode nicht gibt sondern man den Grenzwert davon nimmt, und der ist 5. Das würde wiederum bedeuten das meine definierte Zahl $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ ist. Dann könnte ich aber doch sagen, dass ich mir eine Zahl $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so definiere, dass sie die größte Zahl kleiner $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist(4.99999....8). Woraus dann laut meinem Freund ja folgern würde, dass diese Zahl 4.9999.... und somit auch $\begin{eqnarray*} b=a=5 \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn wir das nun unendlich mal weiter führen hätten wir doch dann irgendwann bewiesen das 5 nicht nur 5 sondern auch unendlich viele Zahlen um 5 ist.

Hoffe ich hab mich nicht falsch ausgedrückt und das es die Frage nicht schonmal gab, hab sie nicht gefunden.

Grüße Smasher

28.10.2006, 18:02

tigerbine

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RE: Supremum/Maximum
Wenn Du eine Zahl b < 5 nimmst, gibt es immer noch unendlich viele Elemente von M, die Zwischen b und 5 liegen. Somit kann b kein Max/Sup sein.

28.10.2006, 18:10

Smasher

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das ist so ne Sache mit den Unendlichkeiten, wenn ich einfach sage das ich die größte Zahl kleiner 5 nehme, also die die den kleinsten abstand zu 5 hat.

28.10.2006, 18:15

tigerbine

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Die gibt es nicht. Zwischen 2 reellen Zahlen liegen unendlich viele reelle Zahlen.

Aber das wirft die Frage auf, wie die Periode , also hier lauter 9nen eigentlich sauber definiert ist. Ist das eine reelle Zahl , ein Grenzwert?

29.10.2006, 02:29

Schmonk

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Zitat:

Original von Smasher
das ist so ne Sache mit den Unendlichkeiten, wenn ich einfach sage das ich die größte Zahl kleiner 5 nehme, also die die den kleinsten abstand zu 5 hat.

Wenn du denn kleinsten Abstand $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gefunden hast, nehme ich einfach $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$
beziehungsweise, falls du die größte Zahl kleiner 5 ( nennen wir sie b ) findest, was ist dann mit $\begin{eqnarray*} \frac {b+5}{2} \end{eqnarray*}$ ?
Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
Aber das wirft die Frage auf, wie die Periode , also hier lauter 9nen eigentlich sauber definiert ist. Ist das eine reelle Zahl , ein Grenzwert?

Das ist einfach nur eine andere Darstellung der gleichen Zahl, wenn man die Dezimalbruchentwicklung betrachtet, sieht man, dass das wirklich das Gleiche ist, weil man im Grunde zwei gegen den gleichen Wert konvergierende Reihen hat. Also ist es ein Grenzwert. Siehe auch Anhang!

Grüße!

29.10.2006, 11:23

tigerbine

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@Schmonk
Falls Du nochmal reinschaust, könntest Du das (mit dem Intervall) für diesen Fall mal aufschreiben. Dann würde sich für Smasher vielleicht zeigen, dass er nicht eine andere Zahl gefunden hat, sondern nur eine andere Darstellung

Danke für den download Augenzwinkern

29.10.2006, 13:46

Schmonk

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Ich hatte in meinem obigen Beitrag schon einen Wikipedia-Link "versteckt":

http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalbruchentwicklung

Und ich zitiere jetzt einfach mal (gekürzt) aus "Analysis Band 1" von Ehrhard Behrends, ein Buch welches ich (nicht nur für 1. Semestler) nur empfehlen kann:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge in {0,1,...,9}. Dann konvergiert die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~{\frac{a_n}{10^n}} \end{eqnarray*}$

Jede reelle Zahl aus [0,1] besitzt eine solche Darstellung und man kann sich leicht überlegen, dass diese Art der Darstellung nicht eindeutig ist.

Grüße!

29.10.2006, 18:40

tigerbine

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Danke,
hatte den link nciht gesehen Wink

30.10.2006, 11:00

Smasher

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Danke für die vielen Antworten, ich schätze ich muss es einfach hinnehmen, dass es die größte Zahl kleiner 5 nicht gibt Augenzwinkern

auch noch ein schöner Ansatz den ich gefunden habe ist:

$\begin{eqnarray*} x=4.9... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10x=49.9... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10x-x=49.9...-4.9... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9x=45 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{45}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$

Danke und Grüße Wink

30.10.2006, 17:21

Schmonk (nicht eingeloggt)

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Dein Nachweis gefällt mir, wirklich eine gute Idee!

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