Sigma Algebra

07.05.2010, 11:56	Jimmy89	Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma Algebra Schönen gutet Tag! Es sei $\begin{eqnarray} M= \left\{0,1\right\}² \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass das Mengensystem $\begin{eqnarray} S =\left\{ \left\{ \right\},M,A,B \right\} \end{eqnarray}$ mit A={(0,1); (1,0); (1,1)} und B={(0,0); (0,1)} nicht abgeschlossen ist (also keine Sigma-Algebra). Welches abgeschlossene Mengensystem G wird von S erzeugt? Um zu zeigen, dass S keine Sigma-Algebra ist, habe ich folgendes versucht: $\begin{eqnarray} A^{c} =\left\{(0,0)\right\} \end{eqnarray}$ dies ist kein Element von S und somit ist S keine Sigma-Algebra. Mit Mengen hatte ich bisher wenig zu tun und deshalb habe ich leider nicht wirklich eine Ahnung, ob das richtig sein könnte. Probleme macht mir auch der zweite Teil der Aufgabe: Welches abgeschlossene Mengensystem G wird von S erzeugt? Ich verstehe nicht, was damit überhaupt gemeint ist, vielleicht könnte mir das jemand erklären? vielen Dank! mfg Jimmy
08.05.2010, 10:56	LLCoolDave	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gegenbeispiel ist richtig. Im zweiten Teil geht es darum, die kleinste Sigma Algebra zu finden, die S enthält, es stellt sich also die Frage, welche Mengen du alle noch zu S hinzufügen musst, so dass du am Ende eine Sigma Algebra erhälst. Dein Gegenbeispiel zeigt, dass $\begin{eqnarray} A^c \end{eqnarray}$ "fehlt", gibt es noch weitere Mengen die du hinzunehmen musst, damit G unter Vereinigung und Komplementbildung abgeschlossen ist?
08.05.2010, 14:06	Jimmy89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so ist das gemeint. Ja dann müsste mann noch $\begin{eqnarray} A^{c} = \left\{ (0,0)\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B^{c} = \left\{(1,0) ; (1,1)\right\} \end{eqnarray}$ zu S hinzufügen, wenn ich das richtig sehe. Also erhält man für G: $\begin{eqnarray} G=\left\{\left\{ \right\} ,M,A,B,A^{c},B^{c} \right\} \end{eqnarray}$ stimmt das soweit? Jetzt soll man auch noch nachprüfen, ob G eine Potenzmenge von M ist. Ich habe einfach so argumentiert, dass {0,1} eine Teilmenge von M ist, aber nicht in G enthalten ist. Also ist G keine Potenzmenge von M. Ist das so richtig? vielen Dank für die Hilfe!
08.05.2010, 14:09	LLCoolDave	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn mit $\begin{eqnarray} (A^c \cup B^c)^c \end{eqnarray}$ ?
08.05.2010, 16:07	Jimmy89	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso stimmt, dann müsste man $\begin{eqnarray} \left(A^{c}\cup B^{c} \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(A^{c}\cup B^{c} \right)^{c} \end{eqnarray}$ auch noch dazu nehmen, das müsste dann aber alles sein oder?

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