Bilinearform beschränkt => stetig

07.05.2010, 17:03

Merlinius

Bilinearform beschränkt => stetig

Hey,

also

Zitat:

sei $\begin{eqnarray*} b(v,w) \end{eqnarray*}$ eine Bilinearform auf $\begin{eqnarray*} V \times W \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (V, W normierte Vektorräume), wobei $\begin{eqnarray*} V \times W \end{eqnarray*}$ mit der Maximumsnorm versehen ist. Es gebe $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |b(v,w)| \leq C ||v||_V ||w||_W \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (v,w) \end{eqnarray*}$

z.z. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist stetig.

Also:

$\begin{eqnarray*} |b(v,w)| \leq C ||v||_V ||w||_W \leq C ||(v, w)||_\infty^2 \end{eqnarray*}$ (macht die Abschätzung Sinn?)

Als Definition für Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} (v, w) \end{eqnarray*}$ habe ich:

1) für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ so, dass für alle $\begin{eqnarray*} (v', w') \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||(v,w)-(v',w')||_\infty < \delta \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |b(v,w)-b(v',w')| < \epsilon \end{eqnarray*}$

oder alternativ

2) für jede Folge $\begin{eqnarray*} (v_n, w_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} lim\ (v_n, w_n) = (v,w) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} lim\ b(v_n, w_n) = b(v,w) \end{eqnarray*}$

Ich hab's schon mit beiden Definitonen probiert, direkt und per Widerspruchsbeweis. Aber irgendwie gelingt es mir nicht. Selbst wenn ich zunächst ansetze zu zeigen, dass b in 0 stetig ist, komm ich nicht dahin.

Ich hab auch schon versucht, ähnliche Beweise zu finden. Hier bei Wikipedia steht was Ähnliches zu einem "linear operator":

http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_ope..._and_continuity

Aber ich denke mal, den Beweis kann man für eine Bilinearform nicht anwenden, da man nicht einfach sagen kann $\begin{eqnarray*} b(v,w)+b(x,y) = b(v+x, w+y) \end{eqnarray*}$ , oder? Abgesehen davon, dass ich den Beweis auch nicht ganz verstehe in seiner Kürze.

Es wäre nett, wenn mir jemand nen Anstoß geben kann, warum die Stetigkeit daraus folgt.

Danke!

07.05.2010, 21:16

giles

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Zeige zuerst: b(v,w) ist genau dann stetig, wenn b in 0 stetig ist.
Um dahin zu kommen, zeige erst für festes anderes Argument, dass es dann gilt, d.h. dass es in einem Argument stetig ist.
Betrachte dann $\begin{eqnarray*} b(x_n-x ,y_n-y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_n \to x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n \to y \end{eqnarray*}$

Zeige dann: b ist stetig in 0

07.05.2010, 23:19

Merlinius

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Danke. Also es ist mir gelungen zu zeigen, dass aus der Beschränktheit die Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ folgt. Aber mir gelingt es einfach nicht, daraus die Stetigkeit auf ganz $\begin{eqnarray*} V \times W \end{eqnarray*}$ zu zeigen

Wenn b ein Skalarprodukt wäre, könnte ich dies über die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zeigen, aber ich weiß einfach nicht, wie ich es hier zeigen kann.

Also ich wollte über die Folgendefinition arbeiten.

Sei $\begin{eqnarray*} (v_n, w_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge, die gegen $\begin{eqnarray*} (v,w) \end{eqnarray*}$ konvergiert, also:

$\begin{eqnarray*} lim\ ||(v_n, w_n) - (v, w)||_\infty = 0 \Leftrightarrow lim\ ||(v_n-v, w_n-w)||_\infty = 0 \Leftrightarrow lim\ ||v_n-v||_V = 0 \land lim\ ||w_n-w||_W = 0 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} lim\ |b(v_n, w_n) - b(v,w)| = 0 \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} lim\ |b(v_n, w_n) - b(v,w)| = lim\ |b(v_n-v, w)+b(v_n, w_n-w)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq lim\ |b(v_n-v,w)| + lim\ |b(v_n, w_n-w)| \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Führt das überhaupt zu etwas? Wenn ich ein Skalarprodukt hätte, würde ich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung anwenden.

Hat jemand nen Tipp?

07.05.2010, 23:22

gonnabphd

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Du gibst dir gleich selbst den Tipp Augenzwinkern

Zitat:

Es gebe $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |b(v,w)| \leq C ||v||_V ||w||_W \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (v,w) \end{eqnarray*}$

07.05.2010, 23:32

giles

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Warum folgst du denn nicht meinen Tipps?

Sei y fest.
Man zeigt leicht mit Linearität, dass b(x,y) ist stetig <=> b ist stetig in (0,y).
Selbes für festes x.

Jetzt:
Sei b stetig in (0,0).
$\begin{eqnarray*} b(x_n-x ,y_n-y) = b(x_n ,y_n) - b(x_n,y) - b(x,y_n)+b(x,y) \end{eqnarray*}$

08.05.2010, 11:58

Merlinius

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Danke Euch beiden, ich hab's jetzt gelöst.

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