Taylorreihe zu e^sin(x)

07.05.2010, 18:58

Sales

Taylorreihe zu e^sin(x)

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich sitze grade an einer Aufgabe, wo ich das Taylorpolynom 3. Grades zur Reihe $\begin{eqnarray*} e^{\sin(x) } \end{eqnarray*}$ angeben soll.
An sich ist das kein Problem allerdings soll ich das Ganze durch Verwendung mir bekannter Taylorreihen machen anstatt durch Ableitungen.

Meine Ideen:
Nachdem ich ein wenig im Forum gesucht habe bin ich bis jetzt bei diesem Ansatz:

Ich substituiere mit $\begin{eqnarray*} u=\sin(x) \end{eqnarray*}$
dann habe ich $\begin{eqnarray*} T3(e^{u})= \sum\limits_{k=0}^2 \frac{u^{k} }{k!} = 1+u+\frac{u^2}{2} \end{eqnarray*}$
so nun muss ich soweit ich weiss die Taylorreihe von sin(x) in u einsetzen bin mir aber nicht ganz sicher wie das aussehen soll. Wäre klasse falls jemand das möglichst kleinschrittig für mich erklären könnte und falls es eine gibt mir auch die Regel für Taylorreihen von verketteten Funktionen sagen könnte.

Vielen dank schonmal

Sales

07.05.2010, 20:39

gonnabphd

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Du könntest ja einfach das Taylorpolynom 3. Grades von sin(x) für u einsetzen und dann ausmultiplizieren. Danach die auftretenden Potenzen von x zusammenfassen und nur diejenigen beachten, deren Potenz kleiner gleich 3 ist.

Wink

Denn eigentlich steht da ja:

$\begin{eqnarray*} T3(e^{u})= \sum\limits_{k=0}^2 \frac{u^{k} }{k!} = 1+u+\frac{u^2}{2} = 1 + \sum_{k=0}^\infty a_nx^n + \frac{\left( \sum_{k=0}^\infty a_nx^n \right)^2}{2} \end{eqnarray*}$

Das einzige Problem das sich stellt, ist das Ausmultiplizieren der Reihe rechts. Dort hilft das Cauchy-Produkt.

09.05.2010, 11:44

Sales

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Danke für die Hilfe gonnabphd!

Ok ich glaube ich habe das mit dem Einsetzen in etwa verstanden. Allerdings steh ich schon wieder vor einem kleinen Problem was mein Grundverständniss für die Taylor-Polynome angeht:

wenn ich die Sinusreihe dann für x einsetze und alle x mit potenzen bis $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ drinne stehen lasse bekomme ich: $\begin{eqnarray*} 1+x+\frac{x^2}{2} -\frac{x^3}{6} \end{eqnarray*}$

Allerdings enthalten höhere Taylorpolynome zu $\begin{eqnarray*} e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$ ja keine x^3 therme mehr (hebt sich dann im nächsthöheren polynom weg). Muss ich also den x^3 term weglassen oder stimmt das ergebnis so?

$\begin{eqnarray*} T3(e^{sin(x)})=1+x+\frac{x^2}{2} -\frac{x^3}{6} \end{eqnarray*}$

09.05.2010, 11:59

Sales

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Mir fällt grade auf das ich auch nicht wirklich verstanden habe wieso x^3 noch drinne bleiben sollte, hängt das vom Taylorpolynom ab.
Also bei T4(f(x)) immer x^4 oder ist das abhängig von dem höchsten x Wert im Polynom von der ersten der beiden verketteten Funktionen?

PS:Sorry das ich das nicht über die edit funktion mache war vorher noch nicht im Forum angemeldet.

Vielen Dank schonmal

Sales

09.05.2010, 21:54

gonnabphd

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Zitat:

Allerdings enthalten höhere Taylorpolynome zu $\begin{eqnarray*} e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$ ja keine x^3 therme mehr (hebt sich dann im nächsthöheren polynom weg). Muss ich also den x^3 term weglassen oder stimmt das ergebnis so?

Hmm, ich weiss nicht, ob ich dich ganz richtig verstehe...

Hat denn das Tylorpolynom 3. Grades die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^3 a_nx^n \end{eqnarray*}$ oder die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^2 a_nx^n \end{eqnarray*}$ ?

Im ersten Falle müsstest du natürlich auch die e-Reihe bis zur 3. Potenz entwickeln, im zweiten Falle musst du nach dem Einsetzen des Sinus nur die Glieder bis zur 2. Potenz beachten.

(Ich dachte nämlich, dass das Taylorpolynom n-ter Ordnung Potenzen bis n hätte, kann mich aber leicht täuschen.) Augenzwinkern

Zu deiner letzten Frage: Du kannst natürlich auch höhere Potenzen (von der e-Reihe wie auch von der Sinus-Reihe) nehmen und alle Potenzen die grösser sind als gefordert dann nicht beachten...

Das begründet sich dadurch, dass der Sinus kein konstantes Glied hat, und die e-Reihe so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{u^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Deshalb weiss man, dass z.B. für k=3 (also die Sinusreihe als u für u^3 eingesetzt) folgende Gestalt annimmt (beachte die Summationsindices!)

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=1}^\infty a_nx^n \right)^3 = \sum_{n=3}^\infty b_nx^n \end{eqnarray*}$

Es gibt daraus also nurnoch 3. und höhere Potenzen von x. Analoges gilt auch für alle höheren Potenzen k.

Deshalb muss man von der e-Reihe schonmal nur die ersten paar Potenzen anschauen (nochmal: das hat vor allem damit zu tun, dass die Sinusreihe kein konstantes Glied hat).

Jetzt ist es aber andererseits auch so, dass man wenn man zwei Reihen miteinander multipliziert nur endlich viele Glieder miteinander multiplizieren muss, um in der resultierenden Reihe den Koeffizienten einer bestimmte Potenz von x zu bestimmen. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty b_nx^n ) \right) = \sum_{n=0}^\infty c_nx^n \end{eqnarray*}$

Dann wird der n-te Koeffizient $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ bestimmt durch

$\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} \end{eqnarray*}$

Wenn nun also die Aufgabe lautet: bestimme die ersten N Koeffizienten von

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right)^2 \end{eqnarray*}$

Dann braucht man dazu nur die ersten N Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_0, \ldots , a_{N-1} \end{eqnarray*}$ zu kennen.

Diese beiden Überlegungen zusammen führen dann zu meinem Tipp.

Wink

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