x''= -C/(x²)

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Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »
x''= -C/(x²)
Hallo!

Ich komme bei dieser gewöhnlichen DGL nicht weiter:



Da Gamma und M konstanten sind, ersetze ich den Zähler im Folgendem durch K.

Beim Lösen bin ich jetzt schonmal bei



Was auch (mit Sicherheit) stimmt, nur möchte ich jetzt gern auch diese DGL lösen und ich dächte Trennung der Variablen würde sich hier anbieten. h ist übrigens auch konstant, ergibt sich aus dem Anfangswerten. Doch an folgendem Integral habe ich mir bis jetzt die Zähne ausgebissen:



Ich habe zwar ein paar Lösungs(-ansätze), doch diese erscheinen mir falsch und liefern dann im Aufgabenverlauf auch recht merkwürdige Ergebnisse. Das ganze ist aus dem Bereich der theoretischen Physik und beschreibt die Bewegungsgleichung für den freien Fall im inhomogenen Schwerfeld der Erde, dh die Beschleunigung wächst während des Falls.
Meine (implizite) Lösung liefert mir dann als Fallzeit (das eigentliche Ziel der ganzen Sache)



Das leifert aber wenn ich mal verschiedene Ausgangshöhen einsetze viel zu kleine Werte, also etwa t=0.0012s für h=1000m. Also muss ich was falsch gemacht haben. Bevor ich jetzt hier meine Rechnung, die sowieso recht unübersichtlich ist, komplett hinschreibe, wollte ich mal fragen, wie ihr das obige Integral lösen würdet, denn das ist der ganze Knackpunkt, also macht euch einfach mal keine Sorge wegen der Physik dahinter. Augenzwinkern

Danke im Voraus!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: x''= -C/(x²)
Das sieht mir ähnlich wie hier aus. Hilft das weiter ?

Grüße Abakus smile
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das hatte ich schon gesehen, das half mir leider auch nicht weiter.

Auf einer "Konkurrenz-Seite" hat offensichtlich ein Leidensgenosse von mir die Aufgabe gepostet und dort auch die komplette Rechnung erhalten. Das Interessante ist, dass dort im Endeffekt das gleiche Ergebnis rauskommt wie bei mir, nur meine Rechnung ist viel kürzer, passt (bei meiner vergleichsweise großen Schrift) sogar auf ein A4-Blatt. Big Laugh
Das freut mich ja irgendwo, nur bleibt das Problem mit den unrealistischen Werten. Selbst für wirklich großes h kommt Mist raus, also etwa bei h=6000km habe ich etwas mehr als 13 Minuten...
LOL Hammer

Meine implizite Lösung ist:



Die ist erstmal rechenfreundlicher, da man ohne Grenzwertbetrachtung auskommt und ausserdem stimmt sie auch für , weil dann t=0 gelten muss. So nun habe ich mich selber genug gelobt. An der Richtigkeit der Lösung zweifle ich nach wie vor. geschockt


Ich muss es wohl einfach akzeptieren, dass bei theo. Mech. keine realitätsnahen Werte rauskommen.
Trotzdem Danke für die Antwort! Prost

Grüße und auf bald!
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Moin!
Wenn du dir mal die Beschleunigung bei h=1000m ausrechnest siehst du, dass die Beschleunigung da garnicht mal sooooo klein ist und deswegen kurze Zeiten auch garnicht so ungewöhnlich sind:
(falls ich richtig eingetippt hab ^^)
Die Zeit die dich da wohl eigentlich interesiert hat, wäre die mit bei . Schließlich ist dein der Abstand vom Erdmittelpunkt und nicht von der Erdoberfläche. Augenzwinkern
Es müssen nämlich auch bei der theoretischen Mechanik realistische Werte rauskommen, sonst wär se ja völlig nutzlos ^^
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von navajo
Die Zeit die dich da wohl eigentlich interesiert hat, wäre die mit bei . Schließlich ist dein der Abstand vom Erdmittelpunkt und nicht von der Erdoberfläche. Augenzwinkern
Es müssen nämlich auch bei der theoretischen Mechanik realistische Werte rauskommen, sonst wär se ja völlig nutzlos ^^


Boing! Na klar! In der Berechnung ist ja die Erde nur ein Punkt. Da habe ich jetzt aber ganz schön viel Zeit verschwendet, indem ich den Fehler gesucht habe. Hammer
Danke schön!
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
der Lösung der DGL stimme ich auch soweit zu,bis auf ein Vorzeichen. Ich weiß nur nicht wieso bei dir bei
ein Minus vor der Wurzel steht?

Ich habe gerechnet mit:




dann ergibt sich:

und das ist doch:


Wo liegt denn bei mir der Fehler, wenn ich ein Minus vor der Wurzel herausbekomme?

Gruß Jan
 
 
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Harry Done



Du machst keinen Fehler!

Wenn du das jetzt umstellst, erhälst du


Und ich glaube Physiker nehmen hier dann das Minus, weil der Geschwindigkeitsvektor im Koordinatensystem nach unten zeigt.
Wenn du das PLus nimmst, müsste aber generell das gleiche rauskommen...denke ich zumindest.

Gruß!
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Okay thx, klingt logisch ich bekomme bei mir auch negative Zeiten raus. Dann passt es ja doch.
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: x''= -C/(x²)
Es muss wohl nur



heißen, aber das ändert ja generell nicht viel
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich dann als Anfangsbedingung nicht auch x(0)=R+h nehmen? verwirrt
Dann muss ich das ja alles nochmal aufschreiben, weil ich bisher nur x(0)=h betrachtet hatte... traurig

Edit: Ach nien, zum Glück doch nicht, da bei uns in der Aufgabe schon h>R gefordert wird, also generell der Abstand zum Erdmittelpunkt als Ausgangshöhe betrachtet wird. Puh...GLück gehabt


(Sorry für's gespamme!)
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