Vektoranalysis - Vektorfeld über Zylinderfläche Integrieren

07.05.2010, 21:56

rappozappo

Vektoranalysis - Vektorfeld über Zylinderfläche Integrieren

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Hi, ich verstehe den letzten Schritt von I nicht.
Man nimmt das dA=e(rho)*Ro*d(phi)d(z), um die Fläche zu bekommen.
Das e(rho) ist doch bildlich gesprochen der Normalenvektor auf der Zylinderoberfläche. Und dieser muss über den Winkel und die Zylinderhöhe bewegt werden ...

Eigentlich hab ichs vom Prinzip her verstanden, aber an der Mathematik haperts voll.
Ich seh im moment nur, dass die 2 aus dem Integral geholt wurde, weil sie bei e(rho) und e(z) vorhanden war. Der Rest ist mir ein totales Rätsel. Auch wie Ro aufeinmal vom Zähler in den Nenner kommt.
Fänds nett, wenn mir jemand helfen könnte.

08.05.2010, 00:48

wogir

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Von $\begin{eqnarray*} \mathrm{rot}\vec F\cdot d\vec A \end{eqnarray*}$ überlebt nur der term $\begin{eqnarray*} \sim \vec e_\varrho \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ wurde einfach $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Vllt hab ich deine Frage falsch verstanden, aber mehr isses ned.

08.05.2010, 01:41

rappozappo

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Zitat:

Original von wogir
Von $\begin{eqnarray*} \mathrm{rot}\vec F\cdot d\vec A \end{eqnarray*}$ überlebt nur der term $\begin{eqnarray*} \sim \vec e_\varrho \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ wurde einfach $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Vllt hab ich deine Frage falsch verstanden, aber mehr isses ned.

Also für $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ wurde $\begin{eqnarray*} R_0 \cdot \vec{e} _\varrho \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Weil, wenn ich $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ alleine schreiben würde, ohne den Einheitsvektor, hätte ich keine Bezugsgröße. Also wie, als würde ich 3*x schreiben ... da wär x die Bezugsgröße ... kann ich mir das so denken?

Ja, jetzt seh ich, was gerechnet wurde. Es hat also ein bischen geholfen! Danke.
Aber warum stirbt der Term $\begin{eqnarray*} \sim \vec e_z \end{eqnarray*}$ ?^^

08.05.2010, 01:51

wogir

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Zitat:

Original von rappozappo

Also für $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ wurde $\begin{eqnarray*} R_0 \cdot \vec{e} _\varrho \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Weil, wenn ich $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ alleine schreiben würde, ohne den Einheitsvektor, hätte ich keine Bezugsgröße. Also wie, als würde ich 3*x schreiben ... da wär x die Bezugsgröße ... kann ich mir das so denken?

Hä? Check ich ned. für $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ würde $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt. $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ repräsentiert eine reelle Variable, $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ ist inkompatibel mit $\begin{eqnarray*} R_0\vec{e} _\varrho \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von rappozappo
Ja, jetzt seh ich, was gerechnet wurde. Es hat also ein bischen geholfen! Danke.
Aber warum stirbt der Term $\begin{eqnarray*} \sim \vec e_z \end{eqnarray*}$ ?^^

Weil $\begin{eqnarray*} \vec e_z \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec e_\varrho \end{eqnarray*}$ steht.

08.05.2010, 22:58

rappozappo

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Zitat:

Original von wogir
Weil $\begin{eqnarray*} \vec e_z \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec e_\varrho \end{eqnarray*}$ steht.

Also würde ja auch dann $\begin{eqnarray*} \vec e_\phi \end{eqnarray*}$ verschwinden, wenn es nicht schon davor 0 geworden wäre?
Hm, also ich weiß jetzt, dass es so ist, aber ich frag mich trotzdem immer noch, warum ich nicht z.B.
$\begin{eqnarray*} \vec e_z \end{eqnarray*}$ ausrechne und dann $\begin{eqnarray*} \vec e_\phi=0 \end{eqnarray*}$ setze? Was würde denn dann überhaupt rauskommen? Ich mein ... man sieht ja, dass man es rechnen "kann".

Kann ich mir dann immer merken, dass ich mit der Flächennormale rechne? Und bei einem Kreis könnte ich da nichts weglassen, da die Kreis-Flächennormale nicht IMMER zu einer Achse senkrecht steht?

Gegeben war ja das Feld $\begin{eqnarray*} \vec{F} = \frac{ \vec{e_x} z - \vec{e_z} x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ und ich sollte das Linienintegral $\begin{eqnarray*} \int_{\delta A} \! \vec{F} \, d\vec{s} \end{eqnarray*}$ entlang des Zylinders berechnen. Was berechen ich da überhaupt? Nur die Fläche unter der Schnittkurve der beiden Ebenen?
Sorry, dass ich so dumm frage, aber ich bin so "unmathematisch", ich hätte glatt gesagt, die Ebene F ist garkeine Ebene, weil sie keinen $\begin{eqnarray*} \vec e_y \end{eqnarray*}$ Vektor hat und damit nicht dreidimensional ist. traurig

08.05.2010, 23:34

wogir

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Sry, ich komm mit deiner Art und Weise, Fragen zu stellen nicht zurecht. Könntest du von vorne anfangen, was du nicht verstehst, oder die Aufgabe im Orignal posten?

09.05.2010, 14:14

rappozappo

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Zitat:

Original von rappozappo

Zitat:

Original von wogir
Weil $\begin{eqnarray*} \vec e_z \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec e_\varrho \end{eqnarray*}$ steht.

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Warum muss ich das $\begin{eqnarray*} \vec e_z \end{eqnarray*}$ ausrechnen und dann $\begin{eqnarray*} \vec e_\phi=0 \end{eqnarray*}$ setzen? Was würde denn rauskommen, wenn ich einfach das $\begin{eqnarray*} \vec e_z = 0 \end{eqnarray*}$ setzen würde und das $\begin{eqnarray*} \vec e_\phi \end{eqnarray*}$ ausrechne? (man sieht ja, dass man es rechnen "kann", aber wahrscheinlich ist es sinnlos. Warum, verstehe ich aber immer noch nicht. Man könnte ja auch argumentieren: Ich rechne $\begin{eqnarray*} \vec e_\phi \end{eqnarray*}$ aus und $\begin{eqnarray*} \vec e_z \end{eqnarray*}$ fällt weg, weil es senkrecht dazu steht)

Und da jetzt die ganze Aufgabe da ist, sieht man vielleicht besser, was ich meine.
Was berechen ich mit diesem Integral eigentlich? Das Vektorfeld F spannt ja eine Ebene auf, die begrenzt wird von dem Zylinder(ausschnitt). Berechne ich jetzt nur die Fläche unter der Schnittkurve der beiden Ebenen? Oder berechen ich das Volumen das von den beden Ebenen in diesem Quadranten eingeschlossen ist? Ich weiß nicht, was für einen Sinn Ersteres machen sollte.

Ich hoffe, es war jetzt verständlicher?

09.05.2010, 17:27

wogir

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Ok, im Prinzip hätte es gereicht, den Anteil von $\begin{eqnarray*} \mathrm{rot} F \end{eqnarray*}$ auszurechnen, der proportional zu $\begin{eqnarray*} e_\varrho \end{eqnarray*}$ ist. Hier war man wohl weniger minimalistisch und hat $\begin{eqnarray*} \mathrm{rot} F \end{eqnarray*}$ ganz ausgerechnet.

Die Komponente zu $\begin{eqnarray*} e_\varphi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathrm{rot} F \end{eqnarray*}$ verschwindet (immer), sie würde auch nicht zum Flächenintegral beitragen.

Ist dir klar, dass ein Linienintegral berechnet werden soll, und zur Vereinfachung der Satz von Stokes verwendet wurde, bei dem man das Linienintegral in ein Flächenintegral überführt? Die Vorstellung "F spannt eine Ebene auf, die begrenzt wird von dem Zylinder(ausschnitt)" ist nicht zutreffend (oder ich kapier nicht, wie das gemeint ist).

09.05.2010, 19:37

rappozappo

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Aber was ist denn das Vektorfeld F sonst als eine Ebene?
"... ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet."

Und ich soll ein Lininintegral berechnen:
"Im mehrdimensionalen Raum ist, anschaulich erklärt, ein Kurvenintegral der Inhalt derjenigen Fläche, die von der Funktion aufgespannt wird, deren Werte sich aus den von Weg- und Kraftvektor aufgespannten Flächen in jedem Punkt der betrachteten Kurve ergeben."

ALso kann ich mir jetzt denken, die Funktion F ist die Kraft, die wirkt und ich soll jetzt diese Kraft über die ganze Zylinderfläche (hier der Weg/ Fläche) integrieren und bekomme so die Kraft mit der F auf dieses Gebiet drückt/zieht ?
Und $\begin{eqnarray*} e_\varrho \end{eqnarray*}$ ist ja der Vektor, der aus der Zylinderebene heraustritt (Normalenvektor). Er bestimtm ja dann die Kraft, die auf den Zylinder Wirkt. $\begin{eqnarray*} e_z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_\phi \end{eqnarray*}$ wären ja nur die Vektoren, die parallel zum Zylinder laufen.

Also wenns das jetzt wäre, hätt ichs glaube ich verstanden. bittebittebittee^^

09.05.2010, 20:03

wogir

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Zitat:

Original von rappozappo
Aber was ist denn das Vektorfeld F sonst als eine Ebene?
"... ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet."

Jep.

Zitat:

Original von rappozappo
Und ich soll ein Lininintegral berechnen:
"Im mehrdimensionalen Raum ist, anschaulich erklärt, ein Kurvenintegral der Inhalt derjenigen Fläche, die von der Funktion aufgespannt wird, deren Werte sich aus den von Weg- und Kraftvektor aufgespannten Flächen in jedem Punkt der betrachteten Kurve ergeben."

ALso kann ich mir jetzt denken, die Funktion F ist die Kraft, die wirkt und ich soll jetzt diese Kraft über die ganze Zylinderfläche (hier der Weg/ Fläche) integrieren und bekomme so die Kraft mit der F auf dieses Gebiet drückt/zieht ?
Und $\begin{eqnarray*} e_\varrho \end{eqnarray*}$ ist ja der Vektor, der aus der Zylinderebene heraustritt (Normalenvektor). Er bestimtm ja dann die Kraft, die auf den Zylinder Wirkt. $\begin{eqnarray*} e_z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_\phi \end{eqnarray*}$ wären ja nur die Vektoren, die parallel zum Zylinder laufen.

Also wenns das jetzt wäre, hätt ichs glaube ich verstanden. bittebittebittee^^

Naja. F kannst du dir als Kraftfeld vorstellen. $\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} F\cdot ds \end{eqnarray*}$ ist die Arbeit, die man benötigt um ein Teilchen in diesem Kraftfeld entlang der Kurve zu bewegen. Und Stokes sagt dir, dass du das in ein Oberflächenintegral überführen kannst.

10.05.2010, 14:14

rappozappo

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Zitat:

Original von wogir
Naja. F kannst du dir als Kraftfeld vorstellen. $\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} F\cdot ds \end{eqnarray*}$ ist die Arbeit, die man benötigt um ein Teilchen in diesem Kraftfeld entlang der Kurve zu bewegen. Und Stokes sagt dir, dass du das in ein Oberflächenintegral überführen kannst.

Muss ich mir diese Kurve jetzt irgendwie vorstellen können? Ich weiß nicht wie ich mir das überhaupt vorstellen kann, weil eine Schnittkurve gibts ja nicht, sondern nur ein Kraftfeld und eine Fläche. Oder sollte ich das besser lassen mit dem "Vorstellen" ?

Wenn ja, dann bedanke ich ich ganz herzlich und ich hätts dann verstanden.

10.05.2010, 20:31

wogir

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-> http://www.matheboard.de/archive/395298/thread.html könnte dir vllt auch weiterhelfen.

10.05.2010, 21:09

rappozappo

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Der Weg ist also der Zylinderrand. Und im Zylinder heben sich alle Teil-Wege auf und deswegen kann man die komplette Fläche nehmen, wobei sich allerdings F in rotF verwandelt.

Cool, ich glaub, ich habs jetzt verstanden. Danke!

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