Grenzwertbildung mit tan

13.06.2004, 20:58

Mathespezialschüler

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Grenzwertbildung mit tan

Hi, hab da grad ein Problem mit nem Grenzwert:

Ich will folgenden Grenzwert bestimmen:

$\begin{align*} \lim_{h \to 0}\ (\frac{\tan(h)}{h\ \cdot\ (1\ -\ \tan(h)\ \cdot\ \tan(x))}) \end{align*}$

Ich bin mir ziemlich sicher, dass er 1 sein muss. Komm aber irgendwie nicht drauf. verwirrt

verwirrt

13.06.2004, 21:02

Mazze

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ersetz doch tan(h) durch sin(h)/cos(h) sollte dann einfacher sien weil sin(h) h-> 0 konvergiert gegen 0 und cos(h) h-> 0 konvergiert gegen 1

ich seh grad wenn du 0 einsetzt kommt 0/0 raus, also versuch doch die regel von L'Hopital Augenzwinkern

Augenzwinkern

eine frage der letzte Ausdruck im nenner soll das tan(x) oder tan(h) sein?

13.06.2004, 21:06

Mathespezialschüler

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Ich wills ja grad ohne l'Hospital, denn das brauche ich ja grad, um die Ableitung von tan(x) zu bestimmen!

Das mit dem Sinus und Cosinus habe ich auch schon probiert, aber ich such eigentlich nen anderen Weg, falls es einen gibt.

13.06.2004, 21:22

Mazze

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$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{tan(h)}{h*(1-tan(h)*tan(x))} \end{align*}$

$\begin{align*} <=> \lim_{h \to 0} \frac{tan(h)}{h*(1-tan(h)*tan(x))} *\frac{tan(h)}{tan(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} <=> \lim_{h \to 0} \frac{tan^2(h)}{h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} tan^2(h) <=> \frac{sin^2(h)}{1-sin^2(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} <=> \lim_{h \to 0} \frac{sin^2(h)*h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h)}{1-sin^2(h)} \end{align*}$

naja sin^2(h) konvergiert gegen 0 somit alles was im zähler steht

1-sin^2(h) konvergiert gegen 1 also insgesamt ist der grenzwert 0/1 = 0.

Ich hoffe ich habe keinen fehler gemacht , aber du gehst ja eh nochma drüber sag bescheid wenn was falsch is, hm nach funktionsplotter is der limes tatsächlich 1

edit

argh ich habe meinen fehler, die schritte sind richtig aber ich hab die Grenzwertsätze angewendet obwohl nicht alle teilfolgen konvergieren...

13.06.2004, 21:49

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{tan(h)}{h*(1-tan(h)*tan(x))} \end{align*}$

$\begin{align*} <=> \lim_{h \to 0} \frac{tan(h)}{h*(1-tan(h)*tan(x))} *\frac{tan(h)}{tan(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} <=> \lim_{h \to 0} \frac{tan^2(h)}{h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} tan^2(h) <=> \frac{sin^2(h)}{1-sin^2(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} <=> \lim_{h \to 0} \frac{sin^2(h)*h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h)}{1-sin^2(h)} \end{align*}$

naja sin^2(h) konvergiert gegen 0 somit alles was im zähler steht

1-sin^2(h) konvergiert gegen 1 also insgesamt ist der grenzwert 0/1 = 0.

Ich hoffe ich habe keinen fehler gemacht , aber du gehst ja eh nochma drüber sag bescheid wenn was falsch is, hm ach funktionsplotter is der limes tatsächlich 1n

edit

argh ich habe meinen fehler, die schritte sind richtig aber ich hab die Grenzwertsätze angewendet obwohl nicht alle teilfolgen konvergieren...

Noch ein Fehler:

Du hattest

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{tan^2(h)}{h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} tan^2(h)\ =\ \frac{sin^2(h)}{1-sin^2(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow\ \lim_{h \to 0} \frac{tan^2(h)}{h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} \ =\ \lim_{h \to 0} \frac{\frac{sin^2(h)}{1-sin^2(h)}}{h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h) \end{align*}$

$\begin{align*} \ =\ \lim_{h \to 0} \frac{sin^2(h)}{(1-sin^2(h))*h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h) \end{align*}$

Immer Hauptbruch und Kehrwertmultiplikation beachten! Denn der Kehrwert von

$\begin{align*} h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h) \end{align*}$

ist

$\begin{align*} \frac{1}{h*(1-tan(h)*tan(x))*tan(h)} \end{align*}$

!!

13.06.2004, 21:51

Poff

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... nein,

wie 'Mathespezialschüler' schon gesagt hat ist der Grenzwert 1

tan(h)/(h*(1-(tan(h))^2)) = tan(h)/h * 1/(1-(tan(h))^2))

und wegen tan(h) -> h für h gegen Null

konvergieren beide Faktoren gegen 1 ....

überlasse das jedoch anderen zwecks klarerer Darlegungen

smile

smile

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13.06.2004, 21:56

Mazze

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ach herje jo danke, ich habs in der eile mal wieder verplant. Aber schätze nach poff haste deine antwort ^^

13.06.2004, 22:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Poff
... nein,

wie 'Mathespezialschüler' schon gesagt hat ist der Grenzwert 1

tan(h)/(h*(1-(tan(h))^2)) = tan(h)/h * 1/(1-(tan(h))^2))

und wegen tan(h) -> h für h gegen Null

konvergieren beide Faktoren gegen 1 ....

überlasse das jedoch anderen zwecks klarerer Darlegungen

smile

smile

Eigentlich war das im Bruch ja nicht (tan(h))², sondern tan(h)*tan(x), aber das is ja relativ egal, da auch das gegen 0 konvergiert und somit der Nenner gegen 1. Danke! :]

13.06.2004, 22:03

Mazze

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müsste man nich ejtzt noch expliziet zeigen das tan(h)/h gegen 1 konvergiert. ich meine is klar für h -> 0 aber reicht das?

13.06.2004, 22:47

Mathespezialschüler

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Das habe ich mir auch schon überlegt, nur so wie man das bei sin(x)/x macht, seh ich da grad keine Möglichkeit. verwirrt

verwirrt

13.06.2004, 22:52

Mazze

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es ginge per l'hopital aber des willste ja nich benutzten, glaube das dürfte nicht trivial sein.

13.06.2004, 22:59

SirJective

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Wenn du sin(x)/x -> 1 weisst, kannst du
tan(h)/h = sin(h)/h * 1/cos(h)
trennen.

13.06.2004, 23:00

Marcyman

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Hab schon lange kein Mathe mehr gemacht, aber ist nicht:

tan(x)/x = sin(x)/ x * 1/cos(x) --> 1 ,

da sin(x)/x --> 1 und cos(x) --> 1, also 1/cos(x) --> 1 für x --> 0

13.06.2004, 23:03

Mathespezialschüler

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Es ginge auch wieder mit

$\begin{align*} \tan(h)\ =\ \frac{\sin(h)}{\cos(h)} \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{h \to 0}\ (\frac{\tan(h)}{h})\ =\ \lim_{h \to 0}\ (\frac{\frac{\sin(h)}{\cos(h)}}{h})\ =\ \lim_{h \to 0}\ (\frac{\sin(h)}{\cos(h)}\ \cdot\ \frac{1}{h})\ =\ \lim_{h \to 0}\ (\frac{\sin(h)}{h}\ \cdot\ \frac{1}{\cos(h)})\ =\ \lim_{h \to 0}\ \frac{\sin(h)}{h}\ \cdot\ \lim_{h \to 0}\ \frac{1}{\cos(h)}\ =\ 1\ \cdot\ 1\ =\ 1 \end{align*}$

Aber sowas elementargeometrisches wie bei (sin(x))/x kommt irgendwie nich raus. Schade unglücklich

unglücklich

13.06.2004, 23:06

Mazze

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Zitat:

Aber sowas elementargeometrisches wie bei (sin(x))/x kommt irgendwie nich raus

Naja der Tangens ist als Quotient 2er elementarer Winkelfunktionen definiert. Versuch doch mal den tangens innerhalb eines Dreieckes oder kreises einzuzeichnen. Is bissel schwieriger schätz ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

13.06.2004, 23:22

Mathespezialschüler

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Man kann den Tangens auch am Einheitskreis einzeichnen, das ist ja auch das einzige, wo man sin und cos einzeichnen kann. Der Tangens eines Bogens x ist der Teil der Geraden x=1, der die Strecke vom Punkt (1|0) bis zum Schnittpunkt mit der Geraden, die den Mittelpunkt des Kreises und den zweiten Punkt des Bogens als Elemente enthält, darstellt.

Schöner Schachtelsatz wa. *g*

13.06.2004, 23:25

SirJective

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Off topic

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Schöner Schachtelsatz

Ich hab auch einen:
Der Lehrer, der den Schüler, der die Zigarette, die er am Kiosk, der neben der Schule, deren Hausmeister Herr Krause ist, steht, kaufte, rauchte, sah, schimpfte.
*g*

13.06.2004, 23:30

Mazze

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Zitat:

Man kann den Tangens auch am Einheitskreis einzeichnen, das ist ja auch das einzige, wo man sin und cos einzeichnen kann. Der Tangens eines Bogens x ist der Teil der Geraden x=1, der die Strecke vom Punkt (1|0) bis zum Schnittpunkt mit der Geraden, die den Mittelpunkt des Kreises und den zweiten Punkt des Bogens als Elemente enthält, darstellt.

Is klar, wo bitte gehts zur toilette? :P

13.06.2004, 23:35

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Man kann den Tangens auch am Einheitskreis einzeichnen, das ist ja auch das einzige, wo man sin und cos einzeichnen kann. Der Tangens eines Bogens x ist der Teil der Geraden x=1, der die Strecke vom Punkt (1|0) bis zum Schnittpunkt mit der Geraden, die den Mittelpunkt des Kreises und den zweiten Punkt des Bogens als Elemente enthält, darstellt.

Is klar, wo bitte gehts zur toilette? :P

Soll das jetzt heißen, dass du es verstehst oder dass du es nicht verstehst? verwirrt

verwirrt

Big Laugh

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