vollständige Induktion mit Winkelfunktion

28.10.2006, 19:36

mwendt84

vollständige Induktion mit Winkelfunktion

Hallo, ich habe folgendes Problem mit der vollst. Induktion!

Das ist die Behauptung:

Summe n bis k=1 cos(2k-1)x=(sin 2nx)/(2 sin x)

Sorry, aber hab kein Plan von LaTex!

Dabei hab ich dann als Behauptung:

(sin (4n+2)x)/ (2sin x)

Ich komme dann allerdings beim Beweis nicht auf die Behauptung! Nun wollt ich fragen ob die Behauptung überhaupt richtig ist??

Bitte um Hilfe!

Danke im Voraus!

MFG

Martin

28.10.2006, 19:42

Mathespezialschüler

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Ja, die Gleichung ist korrekt. Wo hakt es denn beim Induktionsbeweis?

Gruß MSS

29.10.2006, 09:59

mwendt84

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Also ich fang dann an mit dem Beweis und folgender Gleichung:

=(sin 2nx)/(2 sin x) + cos x2(2n+1)-1)

=(sin 2nx)/(2 sin x) + cos x(4n+1)

=(sin 2nx)/(2 sin x) + (2 sin x) * cos x(4n+1)/ (2 sin x) # mit 2sinx erweitern

=((sin 2nx)+ sin 2x (4n+1)) / (2 sin x)

und nu weiß ich nich weiter!

Bitte helft mir!

29.10.2006, 11:20

klarsoweit

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Vermutlich willst du zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~cos(2k-1)x = \frac{sin(2nx)}{2 sin(x)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mwendt84
=(sin 2nx)/(2 sin x) + cos x2(2n+1)-1)

Es wäre für die Nachvollziehbarkeit ganz schön, wenn du auch geschrieben hättest, was auf der linken Seite der Gleichung steht. Desweiteren frage ich mich, wie die 2 in cos x2(2n+1)-1) zustande kommt. Obendrein fehlt da auch eine Klammer.

EDIT:
Und wo ist dein Induktionsanfang?

29.10.2006, 11:59

mwendt84

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Also,

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ \cos((2k-1)x) = \sum_{k=1}^n~ \cos ((2k-1)x) + (2n+1) \end{eqnarray*}$

das ist meine erste gleichung vom beweis, danach kommen die im obrigen post

und nu zur 2:

meine Ausgangsgleichung ist doch

$\begin{eqnarray*} cos ((2k-1)x) \end{eqnarray*}$

und nun setz ich für k=2n+1 ein, und da erhalte ich ja:

$\begin{eqnarray*} cos ((2(2n+1)-1)x) \end{eqnarray*}$

Und hier der gewünschte Induktionsanfang:

für p(1)

linke Seite: $\begin{eqnarray*} cos (2-1)x = cos x \end{eqnarray*}$

rechte Seite: $\begin{eqnarray*} \frac {sin (2*1)x}{2 sin x}=\frac{sin 2x}{2 sin x}=\frac{2sinx*cosx}{2sinx}=cosx \end{eqnarray*}$

29.10.2006, 15:27

Mathespezialschüler

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Nein, du hast doch die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\cos((2k-1)x)=\sum_{k=1}^n~\cos((2k-1)x)+\cos((2(n+1)-1)x) \end{eqnarray*}$ .

Du setzt für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ein, da $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ja von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ läuft.

Gruß MSS

29.10.2006, 15:56

mwendt84

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aber es sollte doch mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~ cos (2k-1)x \end{eqnarray*}$

aus der Ausgangsbehauptung durch (2k-1) nicht hervorgehen, das dies nur mit ungeraden zahlen funktioniert, deshalb hab ich dann auch 2n+1 und nicht n+1 geschrieben

29.10.2006, 16:06

mwendt84

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dann hab ich weiter:

$\begin{eqnarray*} =\frac{sin2nx}{2sinx}+cosx(2(n+1)-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{sin2nx}{2sinx}+ \frac {2sinx*cos x(2n+2-1)}{2sinx} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} sin 2x = 2sinx *cos x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{sin2nx + sin2x(2n+1)}{2sinx} \end{eqnarray*}$

und nu weiß aber nich weiter!

29.10.2006, 16:32

Mathespezialschüler

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Es gilt $\begin{eqnarray*} \sin 2t=2\sin t\cos t \end{eqnarray*}$ . Aber bei

$\begin{eqnarray*} 2\sin x\cos((2n+1)x) \end{eqnarray*}$

kannst du das nicht anwenden, da die Argumente verschieden sind! Versuche es lieber mal mit

$\begin{eqnarray*} \cos((2n+1)x)=\cos(2nx+x)=\cos 2nx\cos x-\sin 2nx\sin x \end{eqnarray*}$

und setze das ein.

Gruß MSS

29.10.2006, 17:28

mwendt84

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irgendwie steh ich aufm schlauch, ich komm damit überhaupt nicht weiter! traurig

kann mir dass vielleicht einer mal schrittweise aufschreiben?

29.10.2006, 17:40

Mathespezialschüler

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Du bist ja bereits bis

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin 2nx+2\sin x\cdot \cos((2n+1)x)}{2\sin x} \end{eqnarray*}$

gekommen. Da setzt du jetzt $\begin{eqnarray*} \cos((2n+1)x)=\cos 2nx\cos x-\sin 2nx\sin x \end{eqnarray*}$ ein und formst weiter um:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin 2nx+2\sin x\cdot \cos((2n+1)x)}{2\sin x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\sin 2nx+2\sin x\cdot (\cos 2nx\cos x-\sin 2nx\sin x)}{2\sin x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\sin 2nx+2\sin x\cdot \cos x\cos 2nx-2\sin 2nx\sin^2 x}{2\sin x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\sin 2nx\cdot (1-2\sin^2x)+\sin 2x\cos 2nx}{2\sin x} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} 1-2\sin^2x=\cos 2x \end{eqnarray*}$ und danach $\begin{eqnarray*} \sin \alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$ benutzen.

Gruß MSS

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