Kann jemand diese Eigenschaft der Primzahlen beweisen oder widerlegen? |
08.05.2010, 15:01 | Wasabi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann jemand diese Eigenschaft der Primzahlen beweisen oder widerlegen? Ich stelle mir gerade folgende Frage, Es ist klar, dass für eine Primzahl p > 3 gilt: 1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/(p-1) 0 mod p Ich wüsste gerne ob sich auch folgende Vermutung einfach beweisen lässt, oder widerlegt werden kann: Sei p eine Primzahl der Form 4k + 1, Dann ist der Zähler von: ( 1/2 + 1/3 )+( 1/6 + 1/7 )+( 1/10 + 1/11 )+...+( 1/(p-3) + 1/(p-2) ) durch p teilbar. Beispiel: 1/2 + 1/3 + 1/6 + 1/7 + 1/10 + 1/11 = ( 13*79 )/(2*5*7*11) -> Zähler teilbar durch 13 Meine Ideen: Mir fällt gerade nicht ein wie diese Vermutung bewiesen werden kann. Ich bin aber sicher, falls der Satz wahr ist, ist der Beweis wahrscheinlich einfach zu finden. Da ich allerdings gerade ein Brett vorm Kopf habe möchte ich diese Frage gerne hier in die Runde stellen. Ich habe die Vermutung nach Prüfung bis zur Zahl 101 aufgestellt, hoffe allerdings, dass sie falsch ist. Wie gesagt, falls ich einen einfachen Beweis für diesen Satz übersehen habe, oder dieser Satz in einer Formelsammlung zu finden ist, würde ich mich über einen Hinweis freuen. |
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08.05.2010, 15:43 | Dummling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kann jemand diese Eigenschaft der Primzahlen beweisen oder widerlegen?
Dummling |
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08.05.2010, 15:49 | wasabi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es gilt doch ebenfalls: 1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/(p-1) mod p = 0 also somit 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/(p-1) = 0 (modulo p) sorry ich deinen Post falsch verstanden haben solte Wasabi |
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08.05.2010, 16:14 | Dummling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, dann wäre doch: ein Widerspruch. Oder steh ich grad völlig auf dem Schlau? Dummling |
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08.05.2010, 16:21 | wasabi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja tut mir leid, stehst du. Ich formuliere das einfach mal um, dass man es leichter versteht: im Grunde genommen bedeutet der Ausdruck: Wenn man 1 + 1/2 + 1/3 + ..... + 1/(p-1) zusammenrechnet, bekommt man am Ende ein Bruch der Form a/b raus, mit natürlichen Zahlen a und b. Es ist sehr bekannt, dass die zahl a ein Vielfaches von p sein muss. Natürlich müsste das erst bewiesen werden. Klar bedeutet halt nur, dass diese Tatsache vielen Leuten schon bekannt ist. |
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08.05.2010, 16:24 | Dummling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sicherlicht hast du zwei Klammern vergessen? p=5 ist prim. Du behauptest: Woher hast du denn dein "es ist klar"? Dummling |
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08.05.2010, 16:28 | Dummling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, das sieht doch schon logischer aus. Das hast du so aber nicht aufgeschrieben Frage zu deiner Behauptung: In welchen Schritten sollen deine Summanden ( 1/(a-3) + 1/(a-2) ) wachsen? Dummling |
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08.05.2010, 16:34 | wasabi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ich aufgeschrieben haben bedeutet genau das. Über die Klammern kann man sich unterhalten, ich denke dass man die Formel auch ohne Klammern versteht. Aber ich will nicht von der eigentlichen Frage ablenken. In viererschritten wachsten die Summanden: 1/2 + 1/3 + 1/(2 + 4) + 1/(3+4) + 1/(2+4+4) + 1/(3+4+4 )+ .......... |
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08.05.2010, 16:35 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Dummling Es wird hier im Körper gerechnet, da sind deine von herrührenden Ordnungsbetrachtungen < > usw. völlig unpassend. @wasabi Fasse die Terme folgendermaßen zusammen: ... dann sollte Licht in die Sache kommen. EDIT: Sorry, das hast du ja schon bewiesen (oder zumindest gekannt) - da hab ich deinen Beitrag nicht ganz zu Ende gelesen. Aber die Idee passt auch auf dein modifiziertes Problem. |
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08.05.2010, 16:52 | Dummling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lese ich also noch einmal:
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08.05.2010, 16:54 | wasabi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Arthur Dent eben die Frage die ich stelle ist vermutlich leider etwas schwieriger Da die multiplikativen Inversen im Z/Zp , soweit ich weis nicht sehr vorhersehbar verteilt sind (abhängig von p), fällt mir nicht ein wie man Zeigen soll, welches Ergebnis herauskommt, wenn man nur einen Teil der Inversen aufsummiert. Allerdings bestätigen zumindest sämtliche kleinere Primzahlen diese Vermutung. Ich fänd's super wenn der Satz für große Zahlen nicht stimmen würde, da könnte ich echt was mit anfangen. Allerdings denke ich nicht das es Zufall ist das die ersten Primzahlen alle den Satz erfüllen. |
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08.05.2010, 16:55 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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08.05.2010, 17:02 | wasabi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lol da hätte ich mal zuende lesen sollen :-) Das war wohl das größte Brett das ich in diesem Jahr vorm Kopf hatte ! Hab allerdings heute nacht wenig geschlafen wenn das ne Entschuldigung ist :-) |
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08.05.2010, 17:02 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Arthurs Beweis läßt sich schwer noch vereinfachen, aber eine andere Idee wäre einfach die Bildung der Gaußschen Summe denn um diese Summe geht es ja hier, da die Abbildung in jeder Gruppe ein Antiautomorphismus, insbesondere also eine Bijektion, ist... |
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