Gruppenhomomorphismus,Verknüpfungstafel

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Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus,Verknüpfungstafel
Hallo,habe folgende Aufgabe und weiß einfach nicht, was ich dabei falsch mache, wäre daher sehr dankbar für Hilfe.

Geben Sie alle Gruppenhomomorphismen zwischen den beiden vierelementigen Gruppen G1 und G2 an, die durch ihre Gruppentafeln nachfolgend gegeben sind.

G1:


G2:



Nennen wir den Gruppenhomomorphismus von G1 nach G2 einfach mal
Gelten muss ja:
für alle x,y Element von G1. Außerdem muss ja immer gelten.
Jetzt muss ich doch alle möglichen Fälle durchspielen. Sei z.B.:

Das wäre dann ja kein Homomorphismus, weil z.B.: und
Nur, wenn ich jetzt alle Möglichkeiten durchspielen will, werde ich ja nie fertig, heißt, es muss ja auch eine andere Möglichkeit geben, schneller zum Ergebnis zu kommen, nur welche? Bzw. mache ich irgendwas falsch?

Edit: Sorry, dass die Verknüpfungstafel so komisch aussieht, im Formeleditor sah sie richtig aus,ich weiß nicht warum sie letzten Endes diese komischen Zeichen links am Rand bekommen hat.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

In G1 ist a ein Element der Ordnung 4, erzeugt also G1. Deshalb sind alle Homomorphismen von G1 nach G2 bereits bestimmt durch das Bild von a.
Es gibt also nur 4 verschiedene Abbildungen die du überprüfen musst
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Doofe Frage vielleicht, aber woran erkennt man denn, dass a ein Element der Ordnung 4 ist und G1 erzeugt? Habe gerade meine Unterlagen nochmal angeschaut aber nichts dazu gefunden, wann ein Element eine Gruppe erzeugt.
Deswegen weiß ich auch noch nicht so recht, welche 4 Abbildungen es sind, die ich überprüfen muss.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht man daran dass aber gilt.
Da G1 die Ordnung 4 hat erzeugt a die Gruppe(jedes Element ist als Potenz von a darstellbar)
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ich hoffe ich habe das richtig verstanden. Mit 1 meinst du e, oder? Wie wäre es denn dann in G2? wäre ja 1 aber dann ja auch. Und das gleiche gilt für b und c.Die Ordnung von G2 ist ja auch 4. Erzeugen dann a,b und c G2 oder gar keins von ihnen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja 1 = e.

G2 ist nicht zyklisch, hat also keinen einzelnen Erzeuger.
2 Elemente zusammen können G2 aber erzeugen. Das ist allerdings nicht wichtig. Den Erzeuger aus G1 habe ich nur erwähnt um die Anzahl der Homomorphismen zu beschränken. Versuche lieber einmal darüber nachzudenken
 
 
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also da jedes Element aus G1 als Potenz von a darstellbar ist, komme ich auf folgende Möglichkeiten:

1.Möglichkeit:
Sei


Das wäre also kein Homomorphismus.Stimmt das so?Ich weiß ja eigentlich nicht, was ist aber da ja jedes Element als Potenz von a darstellbar ist,muss es doch dasselbe sein wie

2.Möglichkeit:
Sei


Das wäre also ein Homomorphismus.

3.Möglichkeit:
Sei


Kein Homomorphismus.

4.Möglichkeit:
Sei


Kein Homomorphismus
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Wie finde ich dann eigentlich die Gruppenhomomorphismen von G2 nach G1, wenn G2 keinen Erzeuger hat? verwirrt Wobei...wenn zwei Elemente G2 erzeugen, müsste es ja genauso gehen, nur halt dann mit zwei Elementen...also hätte ich dann ja 6 Möglichkeiten, die ich überprüfen müsste....Stimmt das?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Vanylar
Ich weiß ja eigentlich nicht, was ist aber da ja jedes Element als Potenz von a darstellbar ist,muss es doch dasselbe sein wie

Da Kiste grad nicht online ist: Ich weiß ja nicht, wie du auf diesen haarsträubenden Unsinn kommst, das ist jedenfalls grundfalsch... Du solltest vielleicht nochmals nachsehn, was die Homomorphiebedingung eigentlich aussagt... Insbesondere wirst du dann sehen, dass z.B. gilt ...

Und zu deinem letzten Posting: Nicht hat einen Erzeuger bzw. braucht einen, sondern die Untergruppe von ...
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Da G1 die Ordnung 4 hat erzeugt a die Gruppe(jedes Element ist als Potenz von a darstellbar)


So bin ich darauf gekommen... Ups Hab ich wohl falsch verstanden.

Nur bin ich jetzt wieder da,wo ich am Anfang schon war, nämlich, dass ich nicht weiß, welche 4 Abbildungen ich überprüfen muss. Tränen
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Vanylar
Nur bin ich jetzt wieder da,wo ich am Anfang schon war, nämlich, dass ich nicht weiß, welche 4 Abbildungen ich überprüfen muss. Tränen

Du solltest dir als erstes überlegen, was du aufgrund der Homomorphiebedingung für über die Bilder



aussagen kannst, wenn du bereits kennst... Das scheint mir der entscheidende Punkt zu sein, wo du "hängst"...
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Also .Wenn ich also kenne, dann ist das Bild die k.-te Potenz davon. Irgendwie häng ich immer noch...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Also, halten wir mal fest: Wenn du für eine der 4 Möglichkeiten auswählst, dann sind die Bilder der restlichen Elemente von damit vollkommen festgelegt, denn diese sind ja alle von der Form



Versuche also mal diese 4 Abbildungen damit tatsächlich aufzustellen...

Anschließend musst du dir dann nur noch überlegen, welche dieser 4 Möglichkeiten tatsächlich einen Homomorphismus ergeben...
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, habe jetzt erstmal eine Abbildung aufgestellt und zwar sei

Daraus folgt:



Das jetzt noch auf Homomorphie überprüfen und dann wäre eine Möglichkeit abgehandelt?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Vanylar
Das jetzt noch auf Homomorphie überprüfen und dann wäre eine Möglichkeit abgehandelt?

Exakt... Wobei die drei Fälle, wo du auswählst, vollkommen symmetrisch sind, da es ja in sind... Wenn du diesen Fall (also dann 3 Fälle) abgehandelt hast, verbleibt noch der Fall , welcher wohl der einfachste sein dürfte...
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also für kommt ja überall e raus. Das ist also ein Homomorphismus.
Die anderen 3 Fälle sind doch auch alles Homomorphismen,oder?Habe zumindest keinen Widerspruch finden können.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Vanylar
Die anderen 3 Fälle sind doch auch alles Homomorphismen,oder?Habe zumindest keinen Widerspruch finden können.

Ob das als Begründung ausreicht? verwirrt Mir würde das jedenfalls nicht gefallen...

Man kann das entweder ganz elementar (durch Fallunterscheidungen) zeigen, oder (wenn ihr das stofflich schon gemacht habt), dann so, indem man zeigt, dass die durch



induzierte Klasseneinteilung auf jeweils die Nebenklassenzerlegung nach einem gewissen Normalteiler von ist, wobei letzterer dann auch der Kern von genannt wird und die Urbildmenge zu unter ist...
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Normalteiler und Kern hatten wir zwar schon aber das klingt dann trotzdem für mich so, als wenn wir das noch nicht hatten. Big Laugh Schreib ich halt alle möglichen Fälle auf und zeige dann somit, dass immer dasselbe rauskommt, ist zwar viel Schreibarbeit, ist doch aber nicht falsch,oder?
Muss jetzt nur noch wissen, wie ich die Homomorphismen von G2 nach G1 bestimmen kann, die sind ja auch gesucht, da man ja alle Homomorphismen zwischen den beiden Gruppen angeben soll.
Vanylar Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, ich bin nervig Big Laugh aber mir lassen die Aufgaben keine Ruhe...
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich die Homomorphismen von G2 nach G1 finde? Hilfe Ich schau schpn die ganze Zeit meine Unterlagen durch Lesen2 finde da aber auch nichts, was mich weiter bringt...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir auch hier wieder eine "Basis" von suchen, d.i. eine Teilmenge , sodass man jedes Element von als Produkt von Potenzen von Basiselementen schreiben kann, wobei diese Darstellung "im wesentlichen" eindeutig ist (mit anderen Worten, ist u ein Basiselement mit der Ordnung ord(u), so sollte man nur die Potenzen



in diesen Basisdarstellungen verwenden)...

Wenn du eine Basis gefunden hast, kannst du so wie im ersten Teil der Aufgabe wieder jede Abbildung f von zu einem Gruppenhomomorphismus fortsetzen, wenn nur eine einzige Bedingung erfüllt ist, nämlich dass für jedes gilt ...

Also probier erst mal eine Basis von zu finden, alles weitere ergibt sich daraus...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

P.S. Was ich oben beschrieben habe, ist die Art, wie ein Kombinatoriker an das Beispiel herangehen würde... Ein Algebraiker würde das allerdings wieder ganz anders sehen... Er würde einfach für jeden Normalteiler N von die Nebenklassenzerlegung nach N durchführen und die Elemente verschiedener Nebenklassen verschieden, die Elemente gleicher Nebenklassen aber jeweils gleich abbilden, und insbesondere die Elemente von N alle auf e... Weiterhin muss aber für alle Elemente u in die Bedingung erfüllt sein, die ich oben für ein Basiselement u hingeschrieben habe...
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Ich hoffe, ihr seit auch in den Ferien hilfsbereit.... smile

Ich habe mir gerade die Aufgabe angeschaut und mir ist aufgefallen, dass G1 auch von c erzeugt wird, also:

Somit wäre auch:
gewählt:


Und auch das mit => s.o.

und

und
trivial

all' das hier von mir gennate ist somit Gruppenhom. von G1 => G2 (wenn ich das richtig verstehe!)


Doch wie gehe ich da bei G2 => G1 vor?
Ich habe schon gelesen, dass hierbei 2 Elemente notwendig sind...., da es ja keine zyklische Gruppe ist.

Doch ich verstehe es nicht ganz. Ich bitte sehr um eure Hilfe.

MfG, Hans Peter
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

....Ich meine natürlich und
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