Inverse Matrix mit komplexe Zahlen

08.05.2010, 18:06

majorpain

Inverse Matrix mit komplexe Zahlen

Meine Frage:
Folgendes:

Berechne die Inversen der Matrizen

$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} i & 1+2i \\ 1-i & 3 \end{pmatrix}\in C^{2x2} \end{eqnarray*}$

und benutze diese, um die Gleichungssysteme

(a) $\begin{eqnarray*} C*\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} C*\vec{x}= \begin{pmatrix} 2i\\ 2-2i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \vec{x}\in C^{2} \end{eqnarray*}$ zu lösen

Meine Ideen:
Hab mit dem Gauß Algorithmus angefangen...

Durch mehrfaches rumprobieren, habe ich immernoch keine Inverse bekommen....

habe manchmal eine Zeile mit "i" malgenommen um i^2 und daraus dann -1 zu erhalten, doch auch das brachte mich nicht weiter...

I) |i 1+2i| 1 0|
II) |1-i 3 | 0 1| II+I

I) |i 1+2i| 1 0| *i
II) |1 4+2i| 1 1|

I) |-1 -2+i| 1i 0|
II) |1 4+2i| 1 1| II+I

I) |-1 -2+i| 1i 0|
II) |0 2+3i| 1+i 1|

hier komm ich nicht mehr weiter, da ich mich dann nur noch im kreis drehe...
ist es so überhaupt richtig??? und wie kann man weiter vorgehen???

08.05.2010, 23:01

majorpain

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kann mir jmd helfen??

09.05.2010, 13:45

Leopold

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Du müßtest im nächsten Schritt die zweite Gleichung jetzt durch $\begin{eqnarray*} 2 +3 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ dividieren.

Im übrigen gilt, falls die Determinante $\begin{eqnarray*} \Delta = ad - bc \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.05.2010, 15:02

majorpain

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aber dann kann ich die erste gleichung nicht auflösen....
also die -2+i bekomm ich dann nicht mehr weg, oder?

09.05.2010, 15:09

Leopold

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Zitat:

Original von majorpain
aber dann kann ich die erste gleichung nicht auflösen....
also die -2+i bekomm ich dann nicht mehr weg, oder?

???

Du mußt halt das entsprechende Vielfache der zweiten Zeile zur ersten addieren.

09.05.2010, 15:21

majorpain

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cool danke!

am ende bekomm ich für die inverse:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2+3i}\begin{pmatrix}-3i & -2+i \\ 1+i & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.05.2010, 15:51

majorpain

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Wenn ich dass aber benutze:

Im übrigen gilt, falls die Determinante $\begin{eqnarray*} \Delta = ad - bc \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [/quote]

dann bekomme ich dieses ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-3+2i} \begin{pmatrix} 3 & -1-2i \\ -1+i & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier ist mir aufgefallen, dass dieses ergebnis mit " *(-i) " das gleiche rauskommt wie oben....
also ist es normal, oder hab ich mich irgendwo verrechnet???

09.05.2010, 17:39

Leopold

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Wenn du aus deinem ersten Ergebnis $\begin{eqnarray*} - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ vor die Matrix ziehst, müßtest du ja nur nachweisen, daß

$\begin{eqnarray*} \frac{- \operatorname{i}}{2+ 3 \operatorname{i}} = \frac{1}{-3 + 2 \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$

gilt. Das sollte nicht allzu schwer sein.

09.05.2010, 18:15

majorpain

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hey danke^^

ich habs endlich !

$\begin{eqnarray*} thx^{\infty } \end{eqnarray*}$

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