System von DGLs 1. Ordnung

08.05.2010, 22:57	celph	Auf diesen Beitrag antworten »
System von DGLs 1. Ordnung Meine Frage: Zeigen Sie, dass die vektorwertigen Funktionen $\begin{eqnarray} <br /> \vec{x_{1}} (t) = \begin{pmatrix} 1 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{x_{2}} (t) = \begin{pmatrix} \frac{1}{t} \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Lösungsbasis zum homogenen System $\begin{eqnarray} <br /> \vec{x}' = \begin{pmatrix} \frac{-1}{2t} & \frac{1}{2t^{2}} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2t} \end{pmatrix} \vec{x}<br /> \end{eqnarray}$ für t > 0 bilden, und geben Sie die allgemeine Lösung dieses Systems an. Lösen sie das Anfangswertproblem für $\begin{eqnarray} \vec{x}(1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* eine Lösungsbasis bilden sie ja, da die Determinante der Wronski-Matrix (also die Matrix mit x1 und x2 als Zeilen) für einen beliebiges t (zB t=1) ungleich 0 ist, nämlich -2 und somit die beiden Lösungsvektoren x1 und x2 linear unabhängig sind (stimmt das soweit?) da es sich um ein System mit 2 DGLs handelt, wird der Lösungsraum auch nur von 2 linear unabhängigen Vektoren aufgespannt (stimmt das?) jetzt würde der Schritt kommen zu prüfen, ob beide Vektoren auch Lösungsvektoren des linearen DGL-Systems darstellen, ich dachte mir, das könnte ich einfach tun indem ich die Koeffizientenmatrix jeweils mit den Lösungsvektoren multipliziere, da kommt für beide Vektoren 0 heraus, wieso kommt da 0 heraus? soll das so sein? bedeutet das, dass die Lösungsvektoren korrekt sind und wenn ja, warum bedeutet es das? die allgemeine Lösung ist ja dann $\begin{eqnarray} \vec{x}=c_1\vec{x_1}+c_2\vec{x_2} \end{eqnarray}$ und das Anfangswertproblem habe ich gelöst: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{t} \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
09.05.2010, 11:20	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Großen und Ganzen stimmen deine Gedanken. Wenn du zeigst, dass die Matrix mit den beiden Vektoren für ein t eine Determinante ungleich 0 hat, sind die Lösungen linear unabhängig (das hast du ja anscheinend schon). Korrekt ist natürlich auch, dass die Dimension deines Lösungsraum 2 ist. Nun zu der Überprüfung: Bilde doch mal $\begin{eqnarray} x_1'(t) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_2'(t) \end{eqnarray}$ . Und dann muss für beide gelten: $\begin{eqnarray} x_i'(t) = A \cdot x_i'(t) \end{eqnarray}$ (mit A als diese Matrix in der DGL, bin gerade zu faul sie abzuschreiben ). Der Rest stimmt dann wieder.
09.05.2010, 13:16	celph	Auf diesen Beitrag antworten »
du meinst: $\begin{eqnarray} \vec{x_i}'(t)=A\vec{x_i}(t) \end{eqnarray*}$ oder ? das kommt nämlich hin
09.05.2010, 14:17	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Vektorpfeile lasse ich bei sowas immer weg. Das ist ja eine Physikerangewohnheit Und ja: Das meinte ich. Das ist ja auch genau das, was du eben bei einer DGL forderst - dass deine Lösung die DGL erfüllt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »