Rekursive Folge - Monotonie -Beschränktheit - Konvergenz

08.05.2010, 22:57	RedWing	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge - Monotonie -Beschränktheit - Konvergenz Meine Frage: Hallo Profis, habe Probleme mit Folgender Aufgabe: Die Folge $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ sei rekursiv definiert durch $\begin{eqnarray} a_{1} := 7 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{n+1} := \frac{2}{a_{n}} + \frac{a_{n}}{2} \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ streng monoton fallend und 2 eine untere Schranke ist. b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ gegen 2 konvergiert. Meine Ideen: Meine Lösungsansätze sind: a) Bedingung für streng monoton fallend ist ja: $\begin{eqnarray} a_{n} > a_{n+1} \end{eqnarray}$ also habe ich folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} a_{n} > \frac{2}{a_{n}} + \frac{a_{n}}{2}<br /> 2\cdot(a_{n})² > 4 + (a_{n})²<br /> (a_{n})² > 4<br /> a_{n} > 2 \end{eqnarray}$ O.k. hier kommt mir das ein bisschen komisch vor, da dies auch meine Bedingung für die untere Schranke ist. Sollte man bei der Monotonie vielleicht eher zeigen: $\begin{eqnarray} a_{n+1} > a_{n+2} \end{eqnarray}$ (Induktion)? Untere Schranke: $\begin{eqnarray} a_{n+1} > 2<br /> \frac{2}{a_{n}} + \frac{a_{n}}{2} > 2<br /> 4 + (a_{n})² > 4a_{n}<br /> (a_{n})² - 4a_{n} + 4 > 0<br /> ((a_{n}) - 2)² > 0<br /> a_{n} - 2 > 0<br /> a_{n} > 2 \end{eqnarray}$ Ist das jetzt bewiesen? b) Ich weiss, dass wenn die Monotonie und Beschränktheit gezeigt ist, es leicht zu zeigen ist, dass die FOlge einen Grenzwert hat. In diesem Fall ist er ja 2. Aber wie kann ich das formal zeigen? Wäre um Hilfe echt dankbar, Gruß
09.05.2010, 00:41	T0b1a5	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im Grunde ist es nicht verkehrt, aber man kann schon mit einem Schema vorgehen. Das kannst du bei allen rekursiv definierten Folgen benutzen. Bei mir in der Klausur wurde auch nicht gemerkt Ich schreibe nur kurz das Schema auf, wenn was unklar ist, kannst du nachfragen. Bin gerade recht müde ^^ Kandidaten für den Grenzwert Falls $\begin{eqnarray} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\left(a_{n}\right)=0 \end{eqnarray}$ existiert, so existiert auch $\begin{eqnarray} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\left(a_{n+1}\right)=a \end{eqnarray}$ . Beschränktheit Zu zeigen: $\begin{eqnarray} a_{n}>a\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ , wobei a dein Grenzwert aus dem ersten Teil ist. Monotonie Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \left(a_{n}\right) \end{eqnarray}$ , ist (streng) monoton fallend/steigend. Hoffe, das reicht für den Anfang
09.05.2010, 13:10	RedWing	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke erstmal für deine Hilfe. Du zeigst nach deiner Theorie zuerst den Grenzwert. Aber in meiner Aufgabe soll von Monotonie und Beschränktheit auf den Grenzwert geschlossen werden. Aber was ich auch gerne wissen möchte, ist, ob denn meine Ideen zum Lösen für die a) richtig sind? Gruß
09.05.2010, 22:22	RedWing	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat keiner eine Meinung dazu? Ich bin mir nämlich nicht sicher zu meinen Ansätzen bei der a)
09.05.2010, 22:28	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Beweise sind kein guter Stil. Du fängst mit der Behauptung an und dann kommen irgendwelche Ungleichungen, die erstmal ein keinerlei Zusammenhang stehen. Das ist kein guter Beweis. Bei der Beschränktheit würde ich mal an die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel bzw. dessen Beweis denken. Und wenn du die Beschränktheit gezeigt hast, kannst du daraus die Monotonie folgern. Wie das geht, hast du ja eigentlich schon herausgefunden. Du musst es nur andersrum aufschreiben.

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