Induktionsbeweis - grundsätzlich

28.10.2006, 20:13

ichverstehalles

Induktionsbeweis - grundsätzlich

Hi,

ich hab auch schon eure Boardsuche usw. verwendet, doch das bringt mich nicht weiter. Genauso wenig wie mein Mathebuch und das Script meines Profs.

Und zwar es geht um die vollsändige Induktion. die hab ich auch mal kurz im Mathe LK gemacht und da auch nur so halb verstanden.
(ich hab einfach immer nur eingesetzt und wußte da auch nie was wirklich, was gleich was sein soll)

was muss den gleich was sein?

also mir ist klar ich hab z.B. ne Gleichung. hier mal ein typisches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

ich muss dann für n n+1 einsetzen

und was soll dann gleich was sein, damit das bewiesen ist?

erst mal will ich das wissen, bevor ich mit weiter hochgestochenen Fragen komme ^^

vielen dank schon mal.

Edit (Dual Space): Zeilenumbrüche innerhalb der LaTeX-Tags entfernt.

28.10.2006, 20:30

Mathespezialschüler

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Verschoben

Hallo!
Beim Induktionsschluss musst du beweisen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} 1+2+\ldots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

28.10.2006, 20:40

Marissa

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also als erstes kommt der Induktionsanfang: da setzt du alles für n=1 ein.
dann die voraussetzung: Wenn die Aussage für 1 gilt dann gilt sie auch für n.
Dann die Behauptung: Wenn die aussage für n gilt dann gilt sie auch für n+1
n+1:
$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n+(n+1) = \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \end{eqnarray*}$
(da setzt du einfach für jedes n n+1 ein...)

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n+(n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$
dann kommt der eigentlich beweis:
$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) \end{eqnarray*}$
hier hast du die Induktionsvoraussetzung benutzt, da
$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)+(2n+2)}{2} \end{eqnarray*}$
und das ist gleich
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$
w.z.b.w.

das war die ganz ausfürliche Variante...

lg

28.10.2006, 20:52

Mathespezialschüler

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Schön und gut, Marissa! Aber bitte poste keine Komplettlösungen, sondern nur Tipps. Der Fragesteller soll selbst auf die Lösung kommen!

Gruß MSS

29.10.2006, 11:30

ichverstehalles

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ich fands eigentlich ganz super.

ich schau mal wie weit ich komme, muss nämlich jetzt ein paar Aufgaben dazu machen...

29.10.2006, 12:04

ichverstehalles

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so neue Aufgabe neues Glück.

"Man beweise per Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n>=1 gilt

$\begin{eqnarray*} 1^{2} +2^{2} +3^{2} ....+n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:
A(n) wahr für n=1
1 für n eingesetzt und es kama uf beiden Seiten das gleiche raus, nämlich 1

Induktionsschritt:
Nimm an, dass A(n) wahr ist. Zeige, dass A(n+1) wahr ist.

$\begin{eqnarray*} 1^{2}+ 2^{2}+ 3^{2}+ ...+(n+1)^{2} =\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

was muss jetzt gleich was sein, damit der Beweis richtig ist?

29.10.2006, 12:11

Apokalypse

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$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$
musst du so umformen, dass da am Ende steht:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

29.10.2006, 12:14

Menelaos

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Induktionsanfang und Induktionsbehauptung hast du ja. Nun musst du den eigentlichen Beweis, den Induktionsschluss durchführen. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2=\sum_{k=1}^n~k^2+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Mach du weiter!

29.10.2006, 14:11

ichverstehalles

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also nicht für jedes n n+1 nehmen, sondern auf beiden seiten + (n+1) ?

und wo habt irh denn das (n+1)² her am Ende

sollte ich jetzt bei meinem Indultionsschritt bleiben, dann hätte ich RS stehen, (n+1)(n+2)(2n+3)/Nenner

29.10.2006, 14:13

ichverstehalles

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achjo ich muss auf beiden Seiten n+1 nehmen satt für jedes n...
gut ich probiers mal

ich weiß aber immer noch nicht wo ihr das Quadrat her habt

29.10.2006, 14:17

Apokalypse

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$\begin{eqnarray*} 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$
Hilft dir das schon weiter?

29.10.2006, 14:24

Menelaos

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Wie Apokalypse bereits geschrieben hat, du hast hier ja die Summe aller Quadratzahlen, also nimmst du auch $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ . Bei der Summe der Kubikzahlen nimmst du folglich $\begin{eqnarray*} (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ , bei der gaußschen Summenformel (Summe von N) war es $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ . Wink

29.10.2006, 14:25

ichverstehalles

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Ich glaub das Quadrat hab ihr von der Linken Seite her, stimmts?

Könnt ihr mir mal die Rechenschritte sagen, wie ihr von
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)² \end{eqnarray*}$

auf das (n+1)(n+2)(n+3) / 6 kommt

29.10.2006, 14:29

Menelaos

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Erweiter den Nenner von $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ auf 6 und fasse zusammen.

29.10.2006, 17:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von ichverstehalles
auf das (n+1)(n+2)(n+3) / 6 kommt

Nicht auf das, sondern auf $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

01.11.2006, 20:46

ichverstehalles

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also hier noch mal:

Induktionsanfang: A(n) wahr für n=1
1^2=....
1=1 richtig

Indukrionsschritt Nimm an, dass A(n) wahr ist. Zeige, dass A(n+1) wahr ist.

$\begin{eqnarray*} 1^{2} +2^{2} + 3^{2} + ...+ (n+1)^{2} =\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

ist das jetzt schon bewiesen?

wann genau weiß ich denn jetzt wann was bewiesen ist und wann nicht- ist das etwa, schon von vornerein klar, wenn ich das anwende, dass spädda qed drunter steht? verwirrt

vielen dank für alle antworten

EDIT: latex korrigiert (klarsoweit)

01.11.2006, 20:56

ichverstehalles

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das war die zweite aufgabe.

ich hab noch eine Dritte. und zwar eine Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 3^{n} > n^{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang n=1
halt eingesetzt und es ging auf

Induktionsschritt:
NImm an, dass A(n) wahr ist. Zeige, dass A(n+1) wahr ist.

$\begin{eqnarray*} 3^{n+1} > (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

so, das hab ich alles aufgelöst und alles auf eine Seite gebracht, muss man doch machen oder?

dann kommt

$\begin{eqnarray*} 0 > n^{2} -3^{n} +2n - 2 \end{eqnarray*}$

richtig?

02.11.2006, 08:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von ichverstehalles
Indukrionsschritt Nimm an, dass A(n) wahr ist. Zeige, dass A(n+1) wahr ist.

$\begin{eqnarray*} 1^{2} +2^{2} + 3^{2} + ...+ (n+1)^{2} =\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

ist das jetzt schon bewiesen?

Nein. Du hast ja nur die zu beweisende Aussage A(n+1) explizit hingeschrieben. Das ist sicherlich wichtig und richtig, aber eben noch kein Beweis. Du mußt jetzt die linke Seite der Aussage A(n+1) nehmen, also $\begin{eqnarray*} 1^{2} +2^{2} + 3^{2} + ...+ (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ , und zeigen, daß das gleich $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$ ist. Dazu darfst du die Induktionsvoraussetzung, also die Gültigkeit der Aussage A(n), verwenden.

Zitat:

Original von ichverstehalles
$\begin{eqnarray*} 0 > n^{2} -3^{n} +2n - 2 \end{eqnarray*}$

Wie hast du denn da aufgelöst bzw. umgeformt? verwirrt

Vermutlich hast du $\begin{eqnarray*} 3^{n+1} = 3^n + 3 \end{eqnarray*}$ gerechnet. Da solltest du dir nochmal die Potenzregeln anschauen. Auch hier empfiehlt es sich, die linke Seite der Ungleichung zu nehmen und mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung geeignet umzuformen.

*** verschoben *** (weil ich nach wie vor der Meinung bin, das sowas in die Analysis gehört)

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