Normalengleichung

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Anna_K. Auf diesen Beitrag antworten »
Normalengleichung
Hallo. Wink

Kann mir vielleicht jemand erklären, wie ich die Normalengleichung bestimmen kann?

E: =

Als Formel habe ich: E:

Wäre toll, wenn mir jemand helfen würde.. Tanzen


ANNA
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst musst du einen Normalenvektor bestimmen. Das kannst du z.B. über das Kreuzprodukt machen. Wenn du das noch nicht kennst, dann musst du einen Normalenvektor anders bestimmen, z.B. über folgende beiden Gleichungen:



.

Gruß MSS

edit: durch ersetzt.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

...und für den Vektor in der Normalengleichung kannst du z.B. den Stützvektor der Ebene verwenden.

Prinzipiell kann man aber irgendeinen Punkt der Ebene wählen und den Ortsvektor zu diesem Punkt bilden - sprich für die Parameter r und s einfach irgendwelche Zahlen einsetzen.

Wenn man für r und s null einsetzt bleibt eben der Stützvektor übrig.

Gruß Björn
Anna_K. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle AW! Freude

Daraus folgt dann das hier, oder?









(I) 2x - 3y + 4z= 0
(II) -2x + 4y - 2z = 0
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, jetzt musst du versuchen, durch das GLS zwei Variablen in Abhängigkeit von der dritten darzustellen.

Gruß MSS
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Gleichungssystem unten stimmt.

Das musst du nun in Abhängigkeit eines Parameters lösen.
Also erstmal eine Koordinate mittels Additionsverfahren eliminieren und dann sozusagen die Schnittgerade ermitteln Augenzwinkern

Ich würde dir allerdings empfehlen statt x,y und z doch lieber n1,n2 und n3 zu verwenden. Schließlich geht es hier um die Bestimmung eines Normalenvektors, aber ist natürlich dir überlassen.

Gruß Björn
 
 
Anna_K. Auf diesen Beitrag antworten »

Ein 'Dankeschön' an Euch beide! Mit Zunge

(I) 2x - 3y + 4z= 0
(II) -2x + 4y - 2z= 0

(I) 2x - 3y + 4z= 0 |: 2
x - 3/2y + 2z= 0

aber das geht ja nicht... traurig
Dann habe ich ja immer noch nicht x oder y oder z eliminiert.

unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst die Gleichung nicht durch 2 zu teilen.
Es genügt hier einfach die Gleichung (I) mit der Gleichung (II) zu addieren.

Dadurch fällt ja das x schonmal weg.

Gruß Björn
Anna_K. Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok. Tanzen

Aber auch wenn ich es so mache, komme ich nicht weiter... Augenzwinkern

(2x - 3y + 4z) + (- 2x + 4y - 2z) = 0
2x - 3y + 4z - 2x + 4y - 2z = 0
1y + 2z = 0
y + 2z = 0
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, soweit schonmal richtig Freude

Dann löse doch mal diese Gleichung nach y auf.

Danach setze dieses y in die Gleichung (I) ein, fasse zusammen und löse nach x auf.

Jetzt hast du ja eine Gleichung für x in Abhängigkeit von z und eine Gleichung für y in Abhängigkeit von z.
Wähle dann z.B. z=1 und löse dafür die Gleichung für x und y.

Du erhälst somit drei konkrete Werte für x,y und z.
Das sind die Koordinaten für einen Normalenvektor der Ebene.

Ich hoffe das hilft dir weiter...wenn nicht frag einfach nochmal.

Gruß Björn
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch einen Vorschlag, der vielleicht einfacher machbar ist:

Schreibe die Ebenengleichung zeilenweise an und eliminiere die Parameter!
Die verbleibende Gleichung ist dann direkt die Normalenform!

Gr
mYthos
Anna_K. Auf diesen Beitrag antworten »

@Björn: Mit Zunge

Ich glaube ich habe es geschafft.. Tanzen


y in A. von z:

y + 2z = 0 |-2z
y = -2z

x in A. von z:
y in (I)

2x - 3 * (-2z) +4z = 0
2x + 6z + 4z = 0
2x + 10z = 0 |-10z
2x = -10 z |: 2
x = -5z

Wähle z= 1:

x= -5
y= -2
z= 1
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du prima gemacht Freude

Somit kannst du dann die Normalengleichung aufstellen...ist sonst noch was unklar?

Gruß Björn
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie lautet nun die Normalenform der Ebenengleichung? Diese ist ja schließlich gefragt ...

mY+
Anna_K. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Björn. Wink

Dann ist die Normalengleichung:

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen Wink

Genauso ist das Freude

Freut mich, dass du das so gut hinbekommen hast smile

Schönen Abend noch.

Gruß Björn
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der andere (bereits skizzierte) Weg liefert - ausgehend von der Parameterform - die gesuchte Normalform mittels Elimination der Parameter in 3(!) Zeilen:

x = 2 + 2r - 2s
y = 1 - 3r + 4s
z = 3 + 4r - 2s
------------------------------
x - z = -1 - 2r |*3
x + y + z = 6 + 3r |*2
addieren
-------------------------------
5x + 2y - z = 9
===========
->
(5;2;-1).X = 9
°°°°°°°°°°°°°°

mY+
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