Aufgabe zur Poisson-Verteilung

09.05.2010, 12:33	Hanz	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zur Poisson-Verteilung Hi, ich schreibe die Aufgabe mal so ab, wie sie auf dem Zettel steht: Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sei Poisson-verteilt mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . (a) Bestimmen Sie das dritte Moment zu $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . (b) Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray} \theta \in \mathbb R \end{eqnarray}$ der Erwartungswert zu $\begin{eqnarray} Y:=e^{\theta X} \end{eqnarray}$ existiert, und bestimmen Sie diesen. (c) Berechnen Sie für den Ausdruck aus (b) die dritte Ableitung nach \theta an der Stelle 0 und vergleichen Sie diese mit dem Ergebnis aus Teil (a). Ich habe im Skript und bei Wikipedia rumgelesen und folgendes berechnet: Zu (a): $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist zugleich Erwartungswert und Varianz, sowie das 3. zentrierte Moment E((X-E(X))³). Zu (b): Hier weiss ich nicht, wie ich es zeigen soll... Ist der Erwartungswert $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ? Zu (c): Bei der dritten Ableitung an der Stelle 0 komme ich auf Null, aber das kann nicht sein, oder?
09.05.2010, 20:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim dritten Moment sucht man doch den Erwartungswert von $\begin{eqnarray} X^3 \end{eqnarray}$ . Ich habe in a) dafür $\begin{eqnarray} \lambda + 3 \lambda^2 + \lambda^3 \end{eqnarray}$ erhalten. Als Erwartungswert für $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{\lambda \left( \operatorname{e}^{\vartheta} -1 \right)} \end{eqnarray}$ gefunden. Ich weiß nicht, was für Techniken dir bekannt sind. Ich selbst habe mit der Erzeugendenfunktion $\begin{eqnarray} g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} x^k P(X=k) = \operatorname{e}^{- \lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left( \lambda x \right)^k}{k!} = \operatorname{e}^{\lambda (x-1)} \end{eqnarray}$ gearbeitet. Denn dann ist $\begin{eqnarray} g'(1) + 3 g''(1) + g'''(1) \end{eqnarray}$ der Wert für das dritte Moment von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Und für den Erwartungswert von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ bin ich standardmäßig vorgegangen. Die Werte von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} y_k = \operatorname{e}^{\vartheta k}, \, k \geq 0 \end{eqnarray}$ , und es ist $\begin{eqnarray} P(Y=y_k) = P(X=k) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(Y) = \sum_{k=0}^{\infty} \operatorname{e}^{\vartheta k} P(X=k) = \ldots \end{eqnarray}$ Möglicherweise kommt man, wenn man mehr Wissen über die Poissonverteilung einsetzt, schneller zum Ziel. Da bin ich aber nicht Fachmann genug dafür.
10.05.2010, 07:50	Hanz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für diese Antwort! Kann man bei a) das dritte Moment auch so ausrechnen: $\begin{eqnarray} E(X³)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} k³ \cdot \frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda} \end{eqnarray}$ Als Hinweise sollte ich folgendes kennen: $\begin{eqnarray} k³=k(k-1)(k-2)+3k(k-1)+k \end{eqnarray}$ -------------------------------------------------- Der Erwartungswert von Y habe ich: $\begin{eqnarray} E(Y)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} e^{\theta k} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda} \end{eqnarray}$ Sind diese Ansätze soweit ok zum verwursten?
11.05.2010, 07:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so geht das. $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(X^3) = \sum_{k=0}^{\infty} k^3 \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \operatorname{e}^{- \lambda} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \operatorname{e}^{- \lambda} \left( \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^k}{k!} + 3 \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1) \cdot \frac{\lambda^k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1)(k-2) \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \right) \end{eqnarray}$ Bei der ersten, zweiten bzw. dritten Summe kannst du die Summation mit $\begin{eqnarray} k=1, k=2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} k=3 \end{eqnarray}$ beginnen. Ausklammern von geeignet vielen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 's und Indexverschiebung führt dich immer auf die Exponentialreihe. Oder du erkennst für $\begin{eqnarray} f(x) = \operatorname{e}^{x} \end{eqnarray}$ die Struktur $\begin{eqnarray} \lambda f'(\lambda) + 3 \lambda^2 f''(\lambda) + \lambda^3 f'''(\lambda) \end{eqnarray}$

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