Konvergenzkriterien

09.05.2010, 12:50

jimmy_01

Konvergenzkriterien

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Meine Aufgabe lautet:

Beweisen oder widerlegen Sie:
1. Aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ folgt die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a^2_{n} \end{eqnarray*}$ .

2. Dasselbe mit: $\begin{eqnarray*} | a_{n}| \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a^2_{n} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also, es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists n_{0}\in \mathbb N \forall n\geq n_{0}:| a_{n} | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Jedoch komm ich einfach nicht auf weitere Schritte.
Irgendwie muss ich ja das Gegebene nutzen, um die Konvergenz herzuleiten.
Irgendein Konvergenzkriterium bringt mich ja wohl nicht weiter, ohne nähere Informationen über die Folgen zu haben ...
*help*

09.05.2010, 12:52

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerstmal solltest du dir überlegen, ob die Behauptung überhaupt stimmt oder nicht. Dazu ist es vielleicht gut, sich die "Extremfälle" anzuschauen.

Für die erste Aufgabe z.B.: Ob ein Wert nun 2 oder 4 ist ... egal!
Wichtig ist aber: Beim Quadrieren verliert man Vorzeichen. Und bei sowas muss bei Reihen die Alarmglocke läuten.

Schnappe dir also mal geschickte Beispiele von konvergenten Reihen, deren Folgenvorzeichen alternieren und bei denen die Reihe über die Folgenquadrate vielleicht nicht mehr konvergiert, da das Vorzeichen fehlt.

air

09.05.2010, 12:57

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Stimmt nicht, dass kannst du Beispielsweise an der Reihe mit ... sehen.

2. Für einen hinreichend späten Rest der Reihe (es reicht diesen zu betrachten) gilt |a_n|^2 < |a_n|

Edit:

Sry Airblader hab nicht gesehen, dass du auch am antworten warst.

Hab die Lösung zu 1) mal rausgelöscht.

09.05.2010, 12:58

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Felix

Findest du nicht, dass der Fragesteller lieber erstmal selbst nach einem Gegenbeispiel suchen sollte?

Edit: Alles klar. Der Hinweis für die 2) sollte eigentlich auch erstmal genügen.

air

09.05.2010, 13:03

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
Findest du nicht, dass der Fragesteller lieber erstmal selbst nach einem Gegenbeispiel suchen sollte?

air

Nicht unbedingt, da ich sicher bin, dass der Fragesteller diese Lösung nicht einfach abschreiben wird ohne sie verstanden zu haben.

Da du allerdings zuerst geantwortet hast und eine andere Vorgehensweise offensichtlich bevorzugst, will ich dir nicht dazwischenfunken, darum habe ich die Lösung auch wegeditiert.

lg

Edit:

Deine Angehensweise ist sicherlich auch die Bessere. Sie ist allerdings zeitaufwändiger. Und es findet sich bei weitem nicht immer jemand der so ein Engagement wie du an den Tag legt. In diesen Fällen profitiert der Fragesteller aber auch von Antworten meiner Art ...

09.05.2010, 13:08

jimmy_01

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert, jedoch konvergeirt die alternierende Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ nach Leibnitz ...

Da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k\frac{1}{\sqrt{k} } \leq \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ gilt, dürfte dieses Beispiel Aufgabe 1 widerlegen, oder befinde ich mich auf dem Holzweg? xD

P.S. THX für die schnelle Antwort

09.05.2010, 13:10

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:

Du bist auf dem richtigen Weg. Wenn du $\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n\cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wählst, so hast du zwar eine Reihe über a_n, die konvergiert .. aber die Reihe über (a_n)² konvergiert dann auch.

Du musst das Ganze also ein bisschen ändern, so dass auch die Reihe über die Quadrate nicht mehr konvergiert. Dazu musst du das a_n einen Tick anders wählen. Das wichtige Symbol hast du schon verwendet (die Wurzel). Meintest du also als Gegenbeispiel das hier?

$\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

air

09.05.2010, 13:13

jimmy_01

Auf diesen Beitrag antworten »

Die alternierende Reihe mit der Wurzel ist doch konvegent, das quadrierte davon nicht ... das meinte ich ... richtig?

09.05.2010, 13:16

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst es also so, wie ich es eben editiert habe.
Ja, das ist dann als Gegenbeispiel in Ordnung.

$\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert dann nach Leibniz, aber $\begin{eqnarray*} \sum a_n^2 = \sum \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert je bekanntermaßen ~> Gegenbeispiel.

Für die 2) schaue dir den Hinweis von Felix an.

air

09.05.2010, 13:28

jimmy_01

Auf diesen Beitrag antworten »

cool ^^
jetzt, wo ich es habe @ felix: was wäre dein gegenbeispiel gewesen?

zu 2)

$\begin{eqnarray*} | a^2_{n} | \leq | a_{n} | \end{eqnarray*}$ gilt doch nur für hinreichend große n ... wobei man doch davon ausgehen muss, dass die folge eine nullfolge bildet (wegen konvergenz) ... aber das ist mir irgendwie zu unmathematisch ... und daher gefühlsmäßig falsch xD

ich glaub' ich brauch noch n' hinweis xD

09.05.2010, 13:30

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Er hatte genau die selbe Folge - und auch ich hatte die im Kopf. Augenzwinkern

Zur 2)

Dass es nur für große n gilt ist ja unerheblich. Endlich viele Folgenglieder dürfen so groß werden, wie sie wollen ... sind es nur endlich viele, können die die Konvergenz nicht zerstören, sondern beeinflussen ja nur den Wert (selbst wenn ein Folgenglied 100.000 wäre).

Wichtig ist: Ab wann genau gilt diese Ungleichung denn eigentlich? Und was sichert dir, dass dies auch wirklich mal passieren wird? Dies kann man argumentativ gut begründen und ist auch nicht "unmathematisch" (man muss es eben nur richtig aufschreiben).
Danach brauchst du lediglich das Vergleichskriterium und die Konvergenz der einen Reihe und du bist fertig. Versuch dich mal an einer Formulierung.

air

09.05.2010, 13:42

jimmy_01

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungleichung gilt für $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq 1 \end{eqnarray*}$ .
Dies sollte mit Sicherheit eintreten, da die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ in dieser Aufgabenstellung vorgeschrieben ist ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ --> Nullfolge)

09.05.2010, 13:44

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bedingung stimmt nicht ganz. Was ist mit $\begin{eqnarray*} a_n = -2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Aber auch hier musst du nur ganz minimal anpassen. Das war eher ein Flüchtigkeitsfehler deinerseits.

Die Begründung stimmt: Die Reihe über (das Wort "über" ist schon wichtig - a_n selbst ist keine Reihe) a_n konvergiert nach Voraussetzung, daher muss a_n eine Nullfolge sein und damit muss der Betrag der Folgenglieder für ein hinreichend großes n auch immer kleiner gleich 1 sein.

Wende jetzt noch das Vergleichskriterium an.

air

09.05.2010, 13:58

jimmy_01

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, Betragsstriche vergessen ^^"

Beweis:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ bildet eine Nullfolge, da die Reihe über $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Somit gilt: $\begin{eqnarray*} | a^2_{n} | \leq | a_{n} | \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_{n}| \leq 1 \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n
Aus dem Vergleichskriterium:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a^2_{n}\leq \sum\limits_{k=1}^n |a_{n}| \end{eqnarray*}$
folgt die Konvergenz.

Ist das schlüssig und aussagekräftig genug?

09.05.2010, 14:05

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt muss ich mich entschuldigen, denn ich war zu schlampig:

Natürlich meinte ich oben immer, dass die Reihe über |a_n| konvergiert. Aus dieser Konvergenz folgt zwar auch das, was ich schrieb (es war also nicht falsch), allerdings landet man dann bei Aufgabe 1) und naja ... das wäre sinnlos! Augenzwinkern

Bei den ganzen (a_n)^2 ist der Betrag natürlich unnötig, so nebenbei bemerkt.

Wir wissen also, dass |a_n| eine Nullfolge bilden muss, d.h. natürlich auch, dass a_n selbst eine Nullfolge sein muss.
Jetzt machst du die Abschätzung (bzw. hast du ja auch gemacht) und wendest vollkommen korrekt das Vergleichskriterium an. In deinem Beweis musst du lediglich sorgfältiger mit den Beträgen umgehen (nicht so wie ich vorhin *hust*).

Edit: Bin jetzt gerade etwas in Eile. Bei weiteren Fragen sollte also bitte jemand einspringen (z.B. Felix Augenzwinkern

).

air

09.05.2010, 14:15

jimmy_01

Auf diesen Beitrag antworten »

Also erst mal ein herzliches Dankeschön für die wirklich schnelle Hilfe ...

Beweis (neu):
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ bildet eine Nullfolge, da die Reihe über $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Somit gilt: $\begin{eqnarray*} a^2_{n} \leq | a_{n} | \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_{n}| \leq 1 \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n
Aus dem Vergleichskriterium:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a^2_{n}\leq \sum\limits_{k=1}^n |a_{n}| \end{eqnarray*}$
folgt die Konvergenz.

So müsste es dann stimmen oder?
Ich hab' jetzt lediglich in der zweiten Zeile die Betragsstriche bei an^2 entfernt.

Dann noch mal kurz zu 1) Gilt es immer, dass eine alternierende Reihe konvergiert? D.h. muss ich das nicht mehr für die "Wurzel"-Reihe beweisen (also mein Gegenbeispiel)?

09.05.2010, 16:52

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mit dem ersten Satz deines Beweises nicht einverstanden. Faktisch stimmt es, aber es hat nichts mit dem Beweis zu tun. Du schwächst deine Voraussetzung nämlich ab - und wozu solltest du das tun? Augenzwinkern

Im ersten Satz sollten also jeweils Beträge stehen. Und nur, um den ganzen Witz des Unterschiedes der Aufgaben zu verdeutlichen, würde ich explizit die Abschätzung als

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n^2 \leq |a_n| \end{eqnarray*}$

notieren. Sonst ist es okay.

Zu der anderen Frage:
Nein, Reihen über alternierende Folgen konvergieren nicht immer. Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$ . Du weißt doch, dass wir hier das Leibniz-Kriterium verwenden.
Und dieses sagt: Hat man eine monoton fallende (!) Nullfolge (!), so konvergiert die Reihe über die entspr. alternierende Folge.

Dass $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist sollte in dem Stadium des Studiums eigentlich keinen Beweis mehr erfordern.

air

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzkriterien

Verwandte Themen