Orthonormal-Basis finden, s.d. Drehungsmatrix entsteht

09.05.2010, 13:30	rauschgold	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormal-Basis finden, s.d. Drehungsmatrix entsteht Hallo Leute, ich habe hier eine orthogonale Matrix A, durch die eine Abbildung $\begin{eqnarray} f(x) = Ax \end{eqnarray}$ definiert ist, gegeben und soll dazu eine Orthonormalbasis finden, so dass die Matrix bzgl. dieser Basis und meiner Abbildung f folgende Form hat: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t_1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ ein reeller Eigenwert der Matrix, also 1 oder -1 sein soll Meine Matrix sieht so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Erst einmal habe ich das charakteristische Polynom berechnet, das wie folgt lautet: $\begin{eqnarray} p_A(t) = (t-1)(-t^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}} - 1)t -1) \end{eqnarray}$ . Meint $\begin{eqnarray} t_1 = 1 \end{eqnarray}$ ist reell, meine $\begin{eqnarray} t_{2/3} = \frac{\sqrt{2} - 2}{4} \pm \frac{i}{2}\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ sind komplex. Nun will ich zu $\begin{eqnarray} t_1 = 1 \end{eqnarray}$ einen Eigenvektor finden und berechne $\begin{eqnarray} Ker(A-1E_3) \end{eqnarray}$ und erhalte,wenn ich das beliebige (eine Zeile wird mit Gauß zur Nullzeile) $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ gleich 1 wähle, den Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} -1-\sqrt{2} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ (bzw. $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ , der ja nur $\begin{eqnarray} \overline{v_2} \end{eqnarray}$ ist) versuche ich, $\begin{eqnarray} Ker(A-t_2E_3) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} t_2 = \frac{\sqrt{2} - 2}{4} + \frac{i}{2}\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ zu lösen, was mir dann jedoch irgendwie zu viel wurde ;-). Deshalb habe ich es mit $\begin{eqnarray} Av = t_2v \end{eqnarray}$ versucht und komme auf die Gleichungen: $\begin{eqnarray} I. \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y = \left(\frac{\sqrt{2} - 2}{4} + \frac{i}{2}\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt{2}}\right)x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} II. z =\left(\frac{\sqrt{2} - 2}{4} + \frac{i}{2}\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt{2}}\right) y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} III. \frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y = \left(\frac{\sqrt{2} - 2}{4} + \frac{i}{2}\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt{2}}\right) z \end{eqnarray}$ , wobei dieses System mir auch nicht gerade Freude bereitet. Die algebraische Vielfachheit von $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ ist ja 1, also dachte ich mir, die Dimension des zugehörigen Eigenraums ist auch 1 und somit kann ich eine der drei Komponenten fest wählen und die anderen in Abhängigkeit ausrechnen. Oder funktioniert das hier nicht? Egal, wie ich I, II und II verrechne, irgendwie muss ich dann immer einen Term durch den anderen teilen und wie das mit dem komplexen Teil gehen soll, ist mir ein Rätsel. Liege ich vielleicht sogar mit dem Lösungsweg falsch? Geht das einfacher? Reicht es, $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ zu finden und dann einfach senkrechte, normierte Vektoren dazu zu finden? Ich rechne mittlerweile über 10 Stunden an der Aufgabe und weiss echt nicht mehr weiter :-(. Vielen Dank! edit: Latex-Code ausgebessert
09.05.2010, 19:10	rauschgold	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormal-Basis finden, s.d. Drehungsmatrix entsteht Weiss keiner was? Ist etwas unklar in meiner Fragestellung?
10.05.2010, 10:41	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormal-Basis finden, s.d. Drehungsmatrix entsteht Hi rauschgold, Pushen ist hier meist kontraproduktiv, da Threads mit Null Antworten eher auffallen. Zur Aufgabe: Nach zehn Stunden hätte Dir eigentlich auffallen können, dass Dein Eigenvektor falsch ist. Eine Probe ( $\begin{eqnarray} Av_1\overset{?}{=}v_1 \end{eqnarray}$ ) kann man auch im Kopf schnell machen. Ändert aber letztlich nichts an Deiner Rechnung, die wirklich sehr kompliziert aussieht. Dein letzter Ansatz ist allerdings korrekt. Wenn Du Dein $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ zu einer ONB ergänzt, wird die Matrix die geforderte Form haben. So etwas zu finden sollte kein Problem sein, aber nach der Normierung werden die Vektoren wahrscheinlich auch nicht mehr so hübsch sein. Gruß, Reksilat.

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