lösen eines gleichungssystems

09.05.2010, 15:51

analysisisthedevil

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lösen eines gleichungssystems

Man löse das Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(y) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\cos^2(x)+\sin^2(y) = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} es\enspace gil\enspace 0\leq x< 2\pi ,0\leq y<2\pi \end{eqnarray*}$

brauche dringend hilfe,keine ahnung wie das gehen soll

09.05.2010, 17:09

Leopold

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Mit dem trigonometrischen Pythagoras kannst du dich in beiden Gleichungen vom Cosinus trennen. Es verbleibt ein homogenes lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} u = \sin^2(x), \, v = \sin^2(y) \end{eqnarray*}$ .

09.05.2010, 17:17

analysisisthedevil

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das versteh ich nich so ganz,besser gesagt überhaupt nicht.
ich versteh so einigermaßen was in dem wiki-artikel steht aber nich wie ich das auf die aufgabe anwenden soll

09.05.2010, 17:24

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
kannst du dich in beiden Gleichungen vom Cosinus trennen

09.05.2010, 18:07

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Leopold
kannst du dich in beiden Gleichungen vom Cosinus trennen

ja , aber wie mach ich das?

09.05.2010, 18:25

frau holle

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RE: lösen eines gleichungssystems
Hi,

ich hätte da noch eine ganz simple Idee:

setz doch in der ersten Gleichung ein

$\begin{eqnarray*} sin^2(y)=1-cos^2(y) \end{eqnarray*}$ (Additionstheorem)

das Ergebnis setzt du in die zweite Gleichung ein. So solltest du es lösen können.

LG frau holle

sorry, jetzt habe ich erst gesehen, dass das der trigonometrische Pythagoras ist und kein Additionstheorem.

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09.05.2010, 18:46

analysisisthedevil

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RE: lösen eines gleichungssystems

Zitat:

Original von frau holle
Hi,

ich hätte da noch eine ganz simple Idee:

setz doch in der ersten Gleichung ein

$\begin{eqnarray*} sin^2(y)=1-cos^2(y) \end{eqnarray*}$ (Additionstheorem)

das Ergebnis setzt du in die zweite Gleichung ein. So solltest du es lösen können.

LG frau holle

sorry, jetzt habe ich erst gesehen, dass das der trigonometrische Pythagoras ist und kein Additionstheorem.

du meinst ich solll $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(y) = 1 \end{eqnarray*}$
ersetzen durch $\begin{eqnarray*} sin^2(y)=1-cos^2(y) \end{eqnarray*}$

weil laut dem trigonemtrischen pythagoras gilt $\begin{eqnarray*} 1=sin^2(y)+ \cos^2(y) \end{eqnarray*}$

??

und dann in die 2. gleichung einsetzen

$\begin{eqnarray*} 2\cos^2(x)+ 1-cos^2(y) \end{eqnarray*}$

das bringt mich ja auch nich weiter,oder?

09.05.2010, 18:48

frau holle

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genau. und dann ein bisschen umstellen und einsetzen ...

09.05.2010, 18:52

frau holle

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RE: lösen eines gleichungssystems

Zitat:

Original von analysisisthedevil

du meinst ich solll $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(y) = 1 \end{eqnarray*}$
ersetzen durch $\begin{eqnarray*} sin^2(y)=1-cos^2(y) \end{eqnarray*}$ [/latex]

weil laut dem trigonemtrischen pythagoras gilt $\begin{eqnarray*} 1=sin^2(y)+ \cos^2(y) \end{eqnarray*}$

??

jetzt verstehe ich deine Frage erst richtig.

Nein, ich meinte du sollst in der ersten Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ ersetzen durch $\begin{eqnarray*} 1-cos^2(x) \end{eqnarray*}$ und dann umstellen und in die zweite Gleichung einsetzen.
Entschuldige, ich hatte x und y durcheinander gebracht.

Und das darfst du weil laut dem trigonemtrischen pythagoras gilt $\begin{eqnarray*} 1=sin^2(x)+ \cos^2(x) \end{eqnarray*}$

09.05.2010, 19:07

analysisisthedevil

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RE: lösen eines gleichungssystems

Zitat:

Original von frau holle

Zitat:

Original von analysisisthedevil

du meinst ich solll $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(y) = 1 \end{eqnarray*}$
ersetzen durch $\begin{eqnarray*} sin^2(y)=1-cos^2(y) \end{eqnarray*}$ [/latex]

weil laut dem trigonemtrischen pythagoras gilt $\begin{eqnarray*} 1=sin^2(y)+ \cos^2(y) \end{eqnarray*}$

??

jetzt verstehe ich deine Frage erst richtig.

Nein, ich meinte du sollst in der ersten Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ ersetzen durch $\begin{eqnarray*} 1-cos^2(x) \end{eqnarray*}$ und dann umstellen und in die zweite Gleichung einsetzen.

Und das darfst du weil laut dem trigonemtrischen pythagoras gilt $\begin{eqnarray*} 1=sin^2(x)+ \cos^2(x) \end{eqnarray*}$

also verstehe ich das richtig.

ich habe die beiden gleichungen

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(y)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cos^2(x)+\sin^2(y) =2 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \sin^2(y)+\cos^2(y)=1 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(y)=1 \end{eqnarray*}$
muss $\begin{eqnarray*} \sin^2(y)=\sin^2(x) \end{eqnarray*}$

jetz bestimme ich also $\begin{eqnarray*} \sin^2(y) \end{eqnarray*}$

und bekomme $\begin{eqnarray*} \sin^2(y)=1-\cos^2(y) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \sin^2(y)=\sin^2(x) \end{eqnarray*}$

erstze ich $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \enspace durch \enspace 1-\cos^2(y) \end{eqnarray*}$

jetz steht in der ersten gleichung also $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(y)+\cos^2(y)=1 \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$

09.05.2010, 19:25

frau holle

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RE: lösen eines gleichungssystems

Zitat:

Original von analysisisthedevil

jetz steht in der ersten gleichung also $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(y)+\cos^2(y)=1 \end{eqnarray*}$

Wow, das hast du aber ganz schön kompliziert gemacht. Ich hab mich wahrscheinlich auch ziemlich unklar ausgedrückt.

Ich meinte einfach:

Schau dir den trigonometrischen Pythagoras an, den kannst du umstellen zu:

$\begin{eqnarray*} sin^2(x)=1-cos^2(x) \end{eqnarray*}$

Das setzt du jetzt in die erste Gleichung ein, da steht dann

$\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(x)+\cos^2(y)=1 \end{eqnarray*}$

Aus dieser Gleichung ergibt sich jetzt

$\begin{eqnarray*} cos^2(x)=cos^2(y) \end{eqnarray*}$

Das setzt du jetzt in die zweite Gleichung ein, die dann nur noch von y abhängt.
Forme den Ausdruck so weit um, bis du sagen kannst, welchen Wert y nur annehmen kann, damit dieser Ausdruck erfüllt ist. (Wann ist cos(y)=1 bzw. =0 , wann ist sin(y)=1 bzw.=0 ?)

Sorry, dass alles so durcheinander gekommen ist.

LG frau holle

09.05.2010, 19:40

analysisisthedevil

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RE: lösen eines gleichungssystems

Zitat:

Original von frau holle

Zitat:

Original von analysisisthedevil

jetz steht in der ersten gleichung also $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(y)+\cos^2(y)=1 \end{eqnarray*}$

Wow, das hast du aber ganz schön kompliziert gemacht. Ich hab mich wahrscheinlich auch ziemlich unklar ausgedrückt.

Ich meinte einfach:

Schau dir den trigonometrischen Pythagoras an, den kannst du umstellen zu:

$\begin{eqnarray*} sin^2(x)=1-cos^2(x) \end{eqnarray*}$

Das setzt du jetzt in die erste Gleichung ein, da steht dann

$\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(x)+\cos^2(y)=1 \end{eqnarray*}$

Aus dieser Gleichung ergibt sich jetzt

$\begin{eqnarray*} cos^2(x)=cos^2(y) \end{eqnarray*}$

Das setzt du jetzt in die zweite Gleichung ein, die dann nur noch von y abhängt.
Forme den Ausdruck so weit um, bis du sagen kannst, welchen Wert y nur annehmen kann, damit dieser Ausdruck erfüllt ist. (Wann ist cos(y)=1 bzw. =0 , wann ist sin(y)=1 bzw.=0 ?)

Sorry, dass alles so durcheinander gekommen ist.

LG frau holle

ok,dann steht in der zweiten gleichung $\begin{eqnarray*} 2\cos^2(y)+\sin^2(y)=2 \end{eqnarray*}$
ich peil aber nich wie ich das jetz umformen muss...

09.05.2010, 19:45

frau holle

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Du hast es doch schon fast.

Durch 2 teilen:

$\begin{eqnarray*} 1=cos^2(y)+\frac{1}{2}sin^2(y) \end{eqnarray*}$

Wann kann das nur der Fall sein?

09.05.2010, 19:49

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von frau holle
Du hast es doch schon fast.

Durch 2 teilen:

$\begin{eqnarray*} 1=cos^2(y)+\frac{1}{2}sin^2(y) \end{eqnarray*}$

Wann kann das nur der Fall sein?

wenn :
$\begin{eqnarray*} \sin^2(y)=\frac{1}{2}sin^2(y) \end{eqnarray*}$

09.05.2010, 19:55

frau holle

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Nein, ich meinte für welches y ist die Gleichung erfüllt?

Also: Insgesamt soll 1 rauskommen.
Wenn du dir den Cosinus anschaust, siehst du, dass cos(y)=1 bei y=0.
Für den Sinus gilt an dieser Stelle sin(0)=0 .
Wenn du y=0 einsetzt ist die Gleichung also erfüllt.

Jetzt hast du einen y-Wert, daraus kannst du dann den x-Wert berechnen.

09.05.2010, 20:05

analysisisthedevil

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aber is nich $\begin{eqnarray*} \cos^2(y)\neq \cos(y) \end{eqnarray*}$

???

das sind übrigens die lösungen laut skript:

Lösungspaare (x, y) sind: $\begin{eqnarray*} (0, 0) , (0, \pi) , (\pi, 0) , (\pi, \pi) \end{eqnarray*}$

09.05.2010, 20:09

frau holle

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Zitat:

Original von analysisisthedevil
aber is nich $\begin{eqnarray*} \cos^2(y)\neq \cos(y) \end{eqnarray*}$

???

Ja, schon. Aber wenn du 0 bzw. pi einsetzt, ergibt sich doch immer eine Gleichung wie

$\begin{eqnarray*} 1=1^2+0^2 \end{eqnarray*}$

Du setzt zuerst den Wert ein, dann quadrierst du.

Ich habe pi nicht als Lösung in Betracht gezogen, weil es nicht im Definitionsbereich für x bzw. y liegt, wie du oben in der Aufgabenstellung geschrieben hast. Wenn es doch drinliegen soll gibt es natürlich zwei Lösungen für y und für jeden y-Wert zwei mögliche zugehörige x-Werte.
Das findest du einfach durch ausprobieren raus.
Wenn du einfach im Kopf hast, wann Cosinus und Sinus Null bzw. eins werden, ist es schnell zu sehen.

09.05.2010, 20:14

analysisisthedevil

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also ich versteh immernoch nich wie man dann auf die verschiedenen lösungen kommen soll verwirrt

verwirrt

09.05.2010, 20:21

frau holle

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Wie ich oben geschrieben habe:

Die Gleichung ist erfüllt für y=0, auch für y=pi wenn das mit in den Def.-Bereich soll.
Du hast doch die erste Gleichung zu
$\begin{eqnarray*} cos^2(x)=cos^2(y) \end{eqnarray*}$ umgestellt.

Setz die beiden y- Werte ein, dann bekommst du die x-Werte.

Dann musst du auch berücksichtigen, dass $\begin{eqnarray*} cos^2(0)=cos^2(\pi)=1 \end{eqnarray*}$ und du hast vier mögliche Wertepaare.

09.05.2010, 20:32

frau holle

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Zitat:

Original von frau holle

Die Gleichung ist erfüllt für y=0, auch für y=pi wenn das mit in den Def.-Bereich soll.

Hab mal wieder falsch gelesen, natürlich ist pi im Definitionsbereich.

Noch ein Zusatz: $\begin{eqnarray*} cos(\pi)=-1 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} cos^2(\pi)=1 \end{eqnarray*}$

Hier ist das Quadrat also wieder wichtig.

09.05.2010, 20:39

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von frau holle

Zitat:

Original von frau holle

Die Gleichung ist erfüllt für y=0, auch für y=pi wenn das mit in den Def.-Bereich soll.

Hab mal wieder falsch gelesen, natürlich ist pi im Definitionsbereich.

Noch ein Zusatz: $\begin{eqnarray*} cos(\pi)=-1 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} cos^2(\pi)=1 \end{eqnarray*}$

Hier ist das Quadrat also wieder wichtig.

danke für die mühe,ich schätze das muss ausreichen ums zu raffen.
ich geh mich mal mit algebra weiter quälen

09.05.2010, 22:59

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von frau holle

Zitat:

Original von analysisisthedevil
aber is nich $\begin{eqnarray*} \cos^2(y)\neq \cos(y) \end{eqnarray*}$

???

Ja, schon. Aber wenn du 0 bzw. pi einsetzt, ergibt sich doch immer eine Gleichung wie

$\begin{eqnarray*} 1=1^2+0^2 \end{eqnarray*}$

Du setzt zuerst den Wert ein, dann quadrierst du.

Ich habe pi nicht als Lösung in Betracht gezogen, weil es nicht im Definitionsbereich für x bzw. y liegt, wie du oben in der Aufgabenstellung geschrieben hast. Wenn es doch drinliegen soll gibt es natürlich zwei Lösungen für y und für jeden y-Wert zwei mögliche zugehörige x-Werte.
Das findest du einfach durch ausprobieren raus.
Wenn du einfach im Kopf hast, wann Cosinus und Sinus Null bzw. eins werden, ist es schnell zu sehen.

noch eine frage,es gibt also keine möglichkeit das rein rechnerisch zu machen?probieren hört sich immer so nach halber miete an

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