Prüfen auf Konvergenz

09.05.2010, 16:55

leo_w

Prüfen auf Konvergenz

Meine Frage:
Hallo,
meine Aufgabe lautet:

Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{k}\cdot k! } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider habe ich noch keinen Ansatz.
Auf Grund der Wurzel schwebt mir das Wurzelkriterium im Kopf herum.
Quotientenkriterium jedenfalls hat nichts genützt. Da macht mir die Wurzel einen Strich durch die Rechnung.
Worauf sollte ich achten? Zuerst umformen? ...

09.05.2010, 17:00

Felix

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Was meinst du wie es mit der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ aussieht, welches Konvergenzkriterium könnte hier zum Ziel führen? Inwiefern hilft dir das für deine Reihe ?

09.05.2010, 17:13

leo_w

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Oh, ich hab' ne Idee, wie das Quotientenkriterium doch funktionieren könnte:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1} }{a_{k}} = \frac{\sqrt{k}\cdot k! }{\sqrt{k+1}\cdot (k+1)! } = \frac{\sqrt{k} }{\sqrt{k+1}\cdot (k+1)} = \sqrt{\frac{k}{(k+1)^3} } \end{eqnarray*}$

---> 0 für k ---> unendlich

Also: Bruch < 1 --> Konvergenz

???

09.05.2010, 18:14

Felix

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09.05.2010, 21:03

leo_w

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Da kann man mal sehen, was solch eine kleine Hilfestellung alles bewirken kann Augenzwinkern

Hier hätte ich noch eine kleine Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k^2+1} \end{eqnarray*}$

Quotientenkriterium liefert mir lediglich als Ergebnis =1
D.h. keine Aussage über die Konvergenz.
Muss ich vielleicht irgendwie geschickt erweitern?

09.05.2010, 21:24

Felix

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Mach doch mal eine kleine Indexverschiebung um auf die harmonische Reihe zu kommen ...

09.05.2010, 21:35

leo_w

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k^2+1} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{(k-1)^2+1} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{k^2-2k+2} \end{eqnarray*}$

mh ... es hat noch nicht "klick" gemacht bei mir xD
harmonische Reihe hat doch die Form "1/k"

es ist zwar ersichtlich, dass die folge eine nullfolge ist, da die nenner-potenz höher ist, aber das reicht ja noch nicht für konvergenz

09.05.2010, 22:02

Felix

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Zitat:

mh ... es hat noch nicht "klick" gemacht bei mir xD harmonische Reihe hat doch die Form "1/k"

Ja bei der Aussage hab ich mich ein wenig geirrt. Ist aber auch egal, denn du kannst di Reihe die du erhalten hast durch die harmonische Reihe nach unten abschätzen.

09.05.2010, 22:24

leo_w

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Demnach setze ich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\leq \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{k^2-2k+2} \end{eqnarray*}$

Zeige durch kleine Umformungen, dass für hinreichend große k gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}-\frac{k}{k^2-2k+2} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Vergleichskriterium mit der harmonischen Reihe --> Divergenz

10.05.2010, 06:53

Felix

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Die Ungleichung gilt schon für k=1 Augenzwinkern

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