Popcornfunktion |
| 28.10.2006, 22:31 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Popcornfunktion ich soll beweisen, dass die Popcornfunktion Riemann-integrierbar ist. Hier die genau Aufgabenstellung: Beweisen Sie, dass die Funktion f : [0,1] -> IR , definiert durch Mir wurde schon einmal eine ähnliche Aufgabe gestellt, allerdings handelte es sich um ein offenes Intervall und es ging um Stetigkeit. Die Funktion ist in allen irrationalen Punkten stetig und in denn rationalen unstetig. Hier bei dem abgeschlossenen Intervall bin ich mir nicht ganz sicher, insbesondere bei der 0...(= 0/1, 0/2, 0/3 usw.) was die Riemann-integrierbarkeit betrifft, tappe ich noch im Dunkeln. Greez Glocke |
||||
| 29.10.2006, 00:40 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Popcornfunktion Interessanter Name für eine Funktion 
.Ein Versuch wäre die Gleichheit von Ober- und Untersummen zu zeigen. Letztere sind 0, erstere wären zu betrachten. Was passiert mit den Obersummen, wenn die Zerlegung immer feiner gemacht wird ? (lässt sich zB Beschränktheit und fallende Monotonie einer solchen Obersummenfolge zeigen ? Wenn ja, brauchst du nur noch zu zeigen, dass 0 der Grenzwert ist) Meine erste Idee ist also, über die Definition des R-Integrals mit Ober- und Untersummen zu gehen. Grüße Abakus 
|
||||
| 29.10.2006, 01:57 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Popcornfunktion Hallo Abakus, Ich habe Deinen Hinweis weiterverfolgt, und die Rechnung sollte auch aufgehen, allerdings habe ich noch Schwierigkeiten, das entsprechend niederzuschreiben...als Zerlegung habe ich {0; 1/n; 2/n;...; (n-1)\n; 1} probiert, allerdings lässt sich die Obersumme nicht so einfach darstellen, weil die Maxima der jeweiligen Teilintervalle nicht so auftauchen, wie ich es gerne hätte 
. Dennoch wird die Obersumme mit wachsendem n immer kleiner.Ich werde morgen weiter darüber brüten. Greez Glocke |
||||
| 29.10.2006, 10:45 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Popcornfunktion Das mit den Zerlegungen richtig hinzukriegen, ist etwas Feinarbeit. Berücksichtige dabei noch, dass abzählbar ist und sich "die Popkörner" (also hier die Funktionswerte) der Größe nach ordnen lassen. Das ergibt ggf. Ansätze für eine Abschätzung der Obersummenfolgen. Grüße Abakus
EDIT: Latex |
||||
| 03.11.2006, 22:47 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Popcornfunktion Danke für die Antwort. Ich denke, ich habe es hinbekommen. Grüße Glocke |
||||
| 07.04.2009, 15:19 | Trulla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Ich würde gerne wissen, wie man diesen Beweis macht. Musste gerade zeigen, wieso die Dirichlet-Funktion nicht r-integrierbar ist und frage mich, wie man hier zeigt, dass diese Funktion R-integrierbar ist. Die rationalen Stellen sind ja abzählbar. Kann ich sie einfach als Zerlegungspunkte wählen und dann zeigen, dass Obersumme=Untersumme?? Würd mich über Antworte freuen. Lieben Gruß, Lina |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 10.04.2009, 10:02 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke nicht, weil du ja zunächst beliebige Zerlegungen betrachten musst. Die Untersumme ist gleich 0, was die Sache leichter macht; du müsstest demnach zeigen, dass du mit der Obersumme durch geeignete Verfeinerung unter jedes vorgegebene kommst. Grüße Abakus
|
||||
|
|