Definition einer Gruppe |
| 09.05.2010, 18:34 | tempo123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Definition einer Gruppe Eine algebraische Struktur (G, *) sei folgendermassen gegeben: G={0,1} mit 0*0 = 0, 0*1 = 1*0 = 1, 1*1 = 0. Ist (G,*) eine Gruppe? Ich bin so vorgegangen. Beh.: (G,*) ist keine Gruppe! Beweis: Falls (G,*) assoziativ wäre, müsste gelten: (0*1)*a = 0*(1*a) 1) (0*1)*a = 1a = a 2) 0*(1*a) = 0a Somit erhalte ich ja einen Widerspruch; also ist (G,*) gemäss Axiom 1 (Assoziativgesetz) keine Gruppe, oder? Vielen Dank für konstruktive Korrekturvörschläge bereits im Voraus. |
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| 09.05.2010, 18:49 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Definition einer Gruppe
Stimmt ja gar nicht! Für a=1 is 1*a = 0 =/= a Du setzt hier einfach voraus, dass 1 ein neutrales Element ist, weil es eben 1 heißt. Am besten du schreibst dein G nicht als {0,1} sondern als {a,b} damit keine Verwechslungsgefahr besteht und versuchst das dann nochmal, im Grunde hast du es ja schon fast. |
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| 09.05.2010, 19:03 | tempo123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du, dass hier lediglich folgendes zu zeigen ist? 1) (0*1)*a = 1*a a=1: 1*1 = 0; a=0: 1*0 = 0 2) 0*(1*a) = 0*a a=1: 0*1 = 1; a=0: 0*0 = 0 Somit wäre dann (G,*) assoziativ, und ich müsste bzgl. neutralem Element (Axiom 2) und dann Kommutativgesetz (A3) prüfen. |
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| 09.05.2010, 19:12 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
0*0=1, aber schau nochmal genau hin. In 1) erhälst du für a=1 den Wert 0, in 2) für a=1 den Wert 0. Somit hängt das Ergebnis ja doch von der Klammerung ab, d.h. das Assoziativitätsgesetzt ist nicht erfüllt. |
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| 09.05.2010, 20:34 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unsinn, es ist natürlich erfüllt... Schließlich geht es bei der Operation ja um die Addition mod 2... |
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| 09.05.2010, 21:36 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh je, heute geht bei mir ja wirklich alles schief, da hast du natürlich recht. Das kommt davon wenn man nur das Ergebnis überfliegt, du hast ja bei 2) schon wieder den selben Fehler gemacht, nämlich die Annahme dass 1*a = a, was ja nicht stimmt. Der Fehler ist mir jetzt echt peinlich, tut mir Leid wenn ich dich da irgendwie verwirrt habe... |
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| 10.05.2010, 07:11 | tempo123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
D.h. hier gilt es, eine Fallunterscheidung durchzuführen: 2) 0*(1*a) = ? Falls a=1: 0*(1*1) = 0*0 =1 Falls a=0: 0*(1*0) = 0*1 = 0 Somit hängt das Ergebnis ja von a ab. Wir können also nicht ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass das Assoziativgesetz erfüllt ist. Daher ist (G,*) keine Gruppe. |
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| 10.05.2010, 08:28 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wer in aller Welt hat dir gesagt, dass der Ausdruck (0*1)*a nicht von a abhängen darf? Irgendwas hast da gründlich mißverstanden... 
Für das Assoziativgesetz musst du einfach überprüfen, ob die Gleichung für jedes Tripel (und davon gibt es 8 Stück!) erfüllt ist... Ich würde dazu die folgenden 4 Fälle unterscheiden (beachte dabei, dass 0 ein neutrales Element ist!) 1. a=0, b,c beliebig (Linke und rechte Seite ergeben dann ganz allgemein b*c, wie du nachrechnen solltest, und zwar ohne Einsetzen für b und c!) 2. b=0, a,c beliebig (analog zu 1.) 3. c=0 a,b beliebig (analog zu 1.) 4. a=b=c=1 Was du dir davon merken solltest ist Folgendes: Wann immer eines der drei Elemente a,b,c in (*) gleich dem neutralen Element der Gruppe ist, dann ist (*) automatisch erfüllt... Damit hätte man hier dann nur eine einzige Bedingung, nämlich 4., zu überprüfen, und auch die gilt hier trivialerweise wegen der Kommutativität der Gruppe.... |
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