Potenzproblem bei einer Folge...

09.05.2010, 21:46

karo182006

Potenzproblem bei einer Folge...

Meine Frage:
Servus :-),

habe ein kleines Verständnisproblem. Wir sollen den Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} g_{n} = \left(\frac{n+2}{n+1} \right)^{2n} \end{eqnarray*}$

berechnen.

Sooo, und jetzt kommt der Teil, bei dem ich die Schritte nicht genau nachvollziehen kann :-(

Die o. a. Folge wurde wie folgt umgestellt:

$\begin{eqnarray*} g_{n} = \left(\frac{n+2}{n+1} \right)^{2n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+2}{n+1} \right)^{2n\frac{n+1}{n+1} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1\frac{2n}{n+1} } = e^{2} \end{eqnarray*}$ .

Kann mir das vielleicht jemand erklären?

Liebe Grüße

Meine Ideen:
??

09.05.2010, 22:04

tmo

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Wo genau liegt denn das Problem?

Übrigens ist das meiner Meinung nach keine "gute" Lösung, da man hier $\begin{eqnarray*} a_n^{b_n} \to a^b \end{eqnarray*}$ verwendet, wobei $\begin{eqnarray*} a_n \to a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \to b \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist aber a priori gar nicht gegeben.

Ich würde $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{2n}=\left(\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)^2 \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^2} \end{eqnarray*}$ bevorziehen.

09.05.2010, 22:12

karo182006

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Oh ja, das sieht ja noch komplizierter aus geschockt

Der erste Schritt ist ja noch nachvollziehbar, wo er $\begin{eqnarray*} {\frac{n+1}{n+1} } \end{eqnarray*}$ dazu multipliziert, aber wie er dann damit auf

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1\frac{2n}{n+1} } \end{eqnarray*}$

kommt, verstehe ich nicht... verwirrt

10.05.2010, 08:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von karo182006
Oh ja, das sieht ja noch komplizierter aus geschockt

Das ist doch nur simples Anwenden von Potenzregeln.

Zitat:

Original von karo182006
Der erste Schritt ist ja noch nachvollziehbar, wo er $\begin{eqnarray*} {\frac{n+1}{n+1} } \end{eqnarray*}$ dazu multipliziert, aber wie er dann damit auf

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1\frac{2n}{n+1} } \end{eqnarray*}$

kommt, verstehe ich nicht... verwirrt

Was ist denn unklar? Daß $\begin{eqnarray*} 2n \frac{n+1}{n+1} = (n+1) \frac{2n}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist oder daß $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

10.05.2010, 17:41

karo182006

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Beides :-) Wie man halt von

$\begin{eqnarray*} 2n \frac{n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (n+1) \frac{2n}{n+1} \end{eqnarray*}$ kommt und dadurch dann von $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n+1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ da...

Tränen

10.05.2010, 17:57

klarsoweit

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Das ist jetzt nicht dein Ernst, oder? Hallo! Wink

Wir sind hier im Hochschulbereich! Solche Umformungen macht man in der 8. oder 9. Klasse.

Zu der ersten Umformung: Wie man weiß, gilt: $\begin{eqnarray*} a \cdot \frac b c = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{b \cdot a}{c} = b \cdot \frac a c \end{eqnarray*}$

Die zweite Umformung rechnest du mal rückwärts.

10.05.2010, 18:07

karo182006

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Das erste ist mir klar, aber wie kommt es, dass ich durch diese Umformung

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+2}{n+1} \right)^{2n\frac{n+1}{n+1} } \end{eqnarray*}$

das erhalte

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1\frac{2n}{n+1} } \end{eqnarray*}$ unglücklich

11.05.2010, 09:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von karo182006
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1\frac{2n}{n+1} } \end{eqnarray*}$

Erstmal muß es $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{(n+1)\frac{2n}{n+1} } \end{eqnarray*}$ heißen und dann verstehe ich deine Frage nicht. Was ist denn jetzt unklar?

Daß $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist, oder

daß $\begin{eqnarray*} 2n \frac{n+1}{n+1} = (n+1) \frac{2n}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

11.05.2010, 18:21

karo182006

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Daß $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist.

11.05.2010, 18:26

tmo

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Es ist doch $\begin{eqnarray*} n+2=(n+1)+1 \end{eqnarray*}$

Und dann wurde das ganze einfach nur auf 2 Bruchstriche verteilt.

11.05.2010, 18:31

karo182006

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Aaaaaaah, jetzt ja Hammer