Basis und Dimension

10.05.2010, 13:38

dendena

Basis und Dimension

hallo,

ich habe 2 aufgaben, bei denen ich eure hilfe brauche.

1) Es sei K:=F3 und V:=<(1,1,2,1,0),(1,1,2,1,1),(2,2,2,2,1),(2,2,0,2,1),(1,1,0,1,0)> $\begin{eqnarray*} \leq (F3)^5 \end{eqnarray*}$

Geben Sie eine Basis für V an und bestimmen Sie die Dimension von V.

2) Für n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei fn $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^\mathbb N0 \end{eqnarray*}$ definiert durch
fn(i):=1+n*i ( $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N 0 = \mathbb N \cup \end{eqnarray*}$ {0})

Was ist die Dimension von <fn | n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N 0 \end{eqnarray*}$ >?

Meine Lösungsansätze:

1) Matrix aufgestellt, transponiert, und mittels Gauß folgende Matrix erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da ich 1 Nullzeile in der Matrix habe, ist dim(V) = 4 und eine basis von V ist
$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

2) hier habe ich keine Idee, wie ich die Dimension bestimmen könnte. Hat jemand eine Idee, die mich weiterbringen könnte?

10.05.2010, 15:13

Reksilat

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RE: Basis und Dimension
Hallo dendena,

Zu 1): Ist Dir aufgefallen, dass bei allen Vektoren, die V aufspannen, immer die ersten beiden Einträge gleich sind? Dies wird dann bei allen Vektoren aus V so sein, insbesondere bei jeder Basis.
Dein Ergebnis stimmt also nicht.

Zu 2): Nicht mal eine Vermutung? Schau Dir doch zum Beispiel erst mal die Menge $\begin{eqnarray*} \{f_0,f_1,f_2\} \end{eqnarray*}$ an. Ist die linear unabhängig? Wie könnte man das zeigen?

Gruß,
Reksilat.

11.05.2010, 10:36

dendena

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danke für die antwort Reksilat.

zur 1)

ich habe einen fehler gefunden und entsprechend korrigiert, nun erhalte ich als lösung
die matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier habe ich 2 nullzeilen, somit ist dim(V)=3 und eine basis von V ist

( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

hier sind auch bei der basis die jeweils ersten beiden einträge gleich.

zur 2)

$\begin{eqnarray*} f_0(i)=1<br /> f_1(i)=1+i<br /> f_2(i)=1+2i<br /> \end{eqnarray*}$
damit ist {f_0,f_1,f_2}={1,1+i,1+2i}

damit das ganze linear unabhängig ist, darf ich nur auf die triviale art den nullvektor erzeugen können, d.h.

a*f_1(i) + b*f_2(i) + c*f_3(i) = 0

<=> a*1 + b*(1+i) + c*(1+2i)=0
<=>a+b+bi+c+2ci = 0

das ganze ist nur für a=b=c = 0 erfüllt, denn selbst für i=0 gilt noch a+b+c=0.

dadurch liegt die vermutung nahe, dass{fn|n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ } linear unabhängig ist.

muss ich jetzt noch zeigen, dass das ganze ein Erzeugendensystem ist? und wie schließe ich darauf auf die dimension ?

11.05.2010, 10:43

Reksilat

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Die Lösung zu 1 sieht gut aus.

Zitat:

<=>a+b+bi+c+2ci = 0
das ganze ist nur für a=b=c = 0 erfüllt, denn selbst für i=0 gilt noch a+b+c=0.

Sehe ich nicht so. Was ist mit c=1, b=-2, a=1?

btw.: Die Menge $\begin{eqnarray*} \{f_i|i\in \mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ ist immer ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \langle f_i|i\in \mathbb{N}\rangle \end{eqnarray*}$ . Was willst Du da noch untersuchen?

Gruß,
Reksilat.

13.05.2010, 15:17

dendena

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Hallo,

sorry für die verspätete antwort, ich hatte in den letzten tagen leider keine zeit mehr.

Du hast natürlich recht Reksilat, für c=1, b=-2, a=1 erhalte ich auch den Nullvektor. das bedeutet, dass {1,1+i,1+2i} linear abhängig ist.

kann man daraus schließen, dass {f_n} linear abhängig ist?
falls ja, würde das ja bedeuten, dass keine Basen existieren, die ja bekanntlich linear unabhängige Erzeugendesysteme sind. Wäre in diesem fall die dimension 0?

13.05.2010, 19:41

Iorek

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Zitat:

Original von dendena
Hallo,

sorry für die verspätete antwort, ich hatte in den letzten tagen leider keine zeit mehr.

Du hast natürlich recht Reksilat, für c=1, b=-2, a=1 erhalte ich auch den Nullvektor. das bedeutet, dass {1,1+i,1+2i} linear abhängig ist.

Bis hier hin stimmt das.

Zitat:

Original von dendena
kann man daraus schließen, dass {f_n} linear abhängig ist?

Betrachte jetzt mal ganz allgemein $\begin{eqnarray*} f_n(i) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ , schaffst du es diese Funktion aus $\begin{eqnarray*} f_0(i),f_1(i) \end{eqnarray*}$ linear zu kombinieren?

Zitat:

Original von dendena
falls ja, würde das ja bedeuten, dass keine Basen existieren, die ja bekanntlich linear unabhängige Erzeugendesysteme sind. Wäre in diesem fall die dimension 0?

Wieso sollte es keine Basen geben? Wenn gilt $\begin{eqnarray*} \langle f_n(i) | n\in\mathbb N_0\rangle = \langle f_0(i),\dots,f_m(i)\rangle \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , du also ein endliches Erzeugendensystem des Raums bilden kannst, dann kannst du auch eine Basis davon bilden. Genau das sollst du ja schon in der Aufgabe 24 (i) zeigen.

15.05.2010, 01:48

Iorek

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Wie würde das Boardprinzip jetzt bei diesem Fall eigentlich ausgelegt werden? Ich weiß zu 99,9%, dass diese Aufgabe vom Übungsblatt "Lineare Algebra I SS 2010" der RWTH Aachen stammt, ich hab eine (bzw. meine) Lösung hier liegen und der Threadersteller hat anscheinend kein Interesse mehr daran, diese Aufgabe zu vervollständigen, da heute bzw. gestern um 11.00 Uhr Abgabe war. Klar, in unserem Prinzip steht, dass keine Komplettlösungen gegeben werden, allerdings ist das Anliegen dieser Frage, das erfolgreiche Abgeben des Übungsblattes, "verjährt" und eine Lösung ist noch immer nicht zu erkennen. Bleibt der Thread jetzt einfach brach liegen bis jemand eine ähnliche Aufgabe bekommt? Oder darf man nach einer gewissen Zeit seine eigene Lösung zu diesem Problem posten? smile

16.05.2010, 13:40

Reksilat

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Hi Iorek,

Das Boardprinzip ist bezüglich der Komplettlösungen in der Tat recht knapp gehalten. Wir haben das intern vor einer Weile auch diskutiert, sind aber zu keiner sinnvollen Umformulierung gekommen, die gleichzeitig kompakt genug war. Das lag unter anderem an den unterschiedlichen Herangehensweisen in Schul- und Unimathematik, aber auch an den verschiedenen Vorstellungen der Mods. Immerhin wurde klar, dass alle das Verbot von Komplettlösungen befürworten; über eventuelle Ausnahmen gab es unterschiedliche Ansichten.

Ich poste mal, was ich damals geschrieben habe:

Zitat:

Einer der Gründe, weshalb ich hier gerne helfe, ist, dass die Hilfe, die den Fragestellern hier gegeben wird, größtenteils auf ähnliche Weise verläuft, wie die, die ein Dozent oder Tutor den Studenten im Reallife geben würde, aber eben aus Zeitmangel nicht geben kann. Gerade am Wochenende sitzen die Studenten ja meist ohne jegliche Rückmeldung da und können dann hier einfach nachfragen.
Es wäre mir höchst unangenehm, wenn ein Dozent meine Hilfe als zu umfangreich betrachten würde und das Matheboard dann als Untergrundschummelforum einordnen würde; seinen Studenten vielleicht sogar die Seite verbieten und ihnen nachspionieren würde. Für mich kann das Matheboard nur als Erweiterung zu den Angeboten an der Uni laufen und nicht als Alternativprogramm zum Besuch von Übungen und Tutorien.

Fazit:
Die Hilfe, die im Matheboard gegeben wird, muss (theoretisch) auch für Professoren oder Lehrer akzeptabel sein. Wer hier fragt, sollte sich bewusst sein, dass auch der jeweilige Dozent die Beiträge lesen kann und niemand würde vor dessen Augen nach einer Komplettlösung fragen.

Zu dieser Aufgabe hier:
Wenn Du weißt, dass der Abgabetermin schon vorüber ist, und Du eine schöne Lösung hast, die Du gerne vorstellen möchtest, dann spricht ja erst mal nichts dagegen, sie hier reinzustellen. Dies sollte meiner Meinung nach aber unbedingt eine Ausnahme bleiben, da wir hier in keinem Fall eine Datenbank für Komplettlösungen bieten wollen.
Nicht alle Professoren denken sich ja für jedes Jahr neue Übungsaufgaben aus und wenn die Hälfte davon bereits komplett gelöst im MB zu finden ist, dann ist das natürlich weder in unserem noch in des Dozenten Sinn. (Insbesondere bei der erhöhten Präsenz der Aachener hier besteht natürlich die Gefahr.)

Ich persönlich sehe es also lieber, wenn eine solche Frage unbeantwortet bleibt - wer den Thread später wieder ausgräbt, und noch immer nicht auf eine Lösung kommt, der kann ja erneut fragen. Du solltest Dich vielleicht fragen, ob eine Komplettlösung hier unbedingt nötig ist - grundsätzlich wird es auf jeden Fall grundsätzlich verboten bleiben.

Wohlgemerkt stellt das hier erst mal nur meine Meinung dar und kein offizielles Statement. Du kannst Dich natürlich gerne weiter dazu äußern oder bei weiteren Fragen einen Thread im Feedback eröffnen.

Gruß,
Reksilat.

16.05.2010, 14:01

Iorek

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Ich kann auch weiterleben, ohne die Lösung zu der Aufgabe hier eingestellt zu haben, so ist das nicht. Ich wusste eben nur nicht, wie das ganze bei so einer Situation zu interpretieren ist. Dass keine Komplettlösungen angeboten werde befürworte ich (wobei die Lösung hier nur noch ein geeignetes Zusammenführen der bisherigen Beiträge wäre, das ganze muss eben nur erkannt werden), und ob meine Lösung schön ist, mag ich nicht beurteilen. Augenzwinkern

16.05.2010, 14:11

Reksilat

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Naja, für das Zusammenführen der einzelnen Beiträge sind wir hier ja nicht verantwortlich. Gerade das Aufschreiben sollte dem Studenten ja eigentlich aufzeigen, ob er die Argumentation verstanden hat oder nicht.
Und bezüglich der Schönheit: in den Grundvorlesungen sind die Lösungswege ja meist eh nicht so vielfältig sondern eher ein "Geradeausrechnen". Erst später kommen dann die interessanten Fragen, bei denen man auch mal die Dozenten etwas beeindrucken kann. Bei so was kann hier auch eine besonders elegante Komplettlösung mal erwünscht sein.
smile

Gruß,
Reksilat.

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