wie schafft man asin(f(x) + bcos(g(x)) = A*sin(x+b) umzuformen

10.05.2010, 13:41

Hanspeter2

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wie schafft man a*sin(f(x) + b*cos(g(x)) = A*sin(x+b) umzuformen

Wie der titel sagt suche ich nach der vorgehensweise für die umwandlung von
a*sin(f(x) + b*cos(g(x)) = A*sin(x+b)

Mein problem ist etwas spezieller jedoch wollte ich damit gleich alle eventualitäten für die zukunft abdecken.(ich habe eine gleichung in der eben a*sinx+b*cosx +c diskutiert werden soll(extrema, nullpunkte und all das zeug) das additive C sollte ja nicht stören dabei.

Grundgedanke war nun die funktion in eine einfache sin funktion umzubauen weil man daran ja quasi alles ablesen kann. Jedoch hab ich ja nur eine gleichung und leider 2 unbekannte. Habe dann hier im forum herumgestöbert und habe dazu folgendes gefunden:
nach f(x) = a*sin(x + b)
und
Trigonometrische Gleichungen

Bei beiden ist leider der genaue weg nicht angegeben. Der weg sollte eigentlich einfach sein, aber ich glaube ich sitze gerade total auf dem schlauch und seh die vorgehensweise nicht

10.05.2010, 17:07

Hanspeter2

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RE: wie schafft man a*sin(f(x) + b*cos(g(x)) = A*sin(x+b) umzuformen
Hat niemand einen Ansatz den ich verfolgen kann?
Wenns zu theoretisch hier einfach mal als beispiel:

4sinx+6cosx-5

Der ansatz

4sinx+6cosx-5 = A*sin(x+b) sollte eigentlich gehen jedoch fehlt mir da wohl der entscheidende grundgedanke wie ich aus dieser einen funktion mit 2 variablen 2 funktionen mit 2 varaiblen machen kann

10.05.2010, 17:15

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Zitat:

Original von Hanspeter2
Wie der titel sagt suche ich nach der vorgehensweise für die umwandlung von
a*sin(f(x) + b*cos(g(x)) = A*sin(x+b)

In dieser Allgemeinheit geht das gar nicht. unglücklich

unglücklich

Im Speziellen schon: Vielleicht meinst du ja auch eher

$\begin{eqnarray*} a\sin(f(x)) + b\cos(f(x)+c) = A\sin(f(x)+B) \end{eqnarray*}$

mit gegebenen $\begin{eqnarray*} a,b,c,f \end{eqnarray*}$ und gesuchten $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ ? Da ist es möglich, siehe z.B.

nach f(x) = a*sin(x + b) .

11.05.2010, 19:04

Hanspeter2

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OK, wenn ich das richtig verstehe sieht es dann bei meinem expliziten beispiel so aus?

4sinx+6cosx-5 = A*sin(x+b)

a=sqrt(16+36)=4*sqrt(13)
b=cot(6/4)=cot(3/2)

=>
4sinx+6cosx-5 = 4*sqrt(13)*sin(x+cot(3/2)) -5

Passt das dann so?

In dem thread schreibt noch einer von wegen poalrkoordinaten mit der anweiseung:
$\begin{eqnarray*} 2 &=& a\cos b\\ -3 &=& a\sin b \end{eqnarray*}$

komm ich damit also auch auf die gesuchten a und b werte?
wäre dann also
a = 4/cosb
b=sin^-1(6/a)

und das dann alles nach a aufgelöst dann damit b ausgerechnet?

11.05.2010, 20:23

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4sinx+6cosx-5 = $\begin{eqnarray*} 4\sin(x)+6\cos(x)-5 \end{eqnarray*}$ lässt sich gar nicht zu $\begin{eqnarray*} A\sin(x+b) \end{eqnarray*}$ umwandeln. unglücklich

unglücklich

Oder meinst du stattdessen $\begin{eqnarray*} 4\sin(x)+6\cos(x-5) \end{eqnarray*}$ , d.h., hast die Klammern vergessen? In dem Fall musst du erstmal den Kosinusterm per Additionstheorem aufdröseln, d.h.

$\begin{eqnarray*} 4\sin(x)+6\cos(x-5) = 4\sin(x)+6(\cos(x)\cos(5)+\sin(x)\sin(5)) = (4+\sin(5)) \cdot \sin(x) + 6\cos(5)\cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$ ,

und DANN ERST die Methode aus dem verlinkten Thread anwenden.

11.05.2010, 21:37

Hanspeter2

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ne, die klammern stimmen schon, das +c steht ausserhalb der klammern. ok, wie kann man dann dafür wertemenge, nullstellen,extrema, wendepunkte berechnen?

hatte gehofft es so umzuschreiben und dann einfach "abzulesen"

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11.05.2010, 21:40

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Also geht es nur um $\begin{eqnarray*} 4\sin(x)+6\cos(x) = A\sin(x+b) \end{eqnarray*}$ , schwere Geburt...

Was ist denn nun am verlinkten Thread unverständlich?

Zitat:

Original von Hanspeter2
b=cot(6/4)=cot(3/2)

Nein, sondern

$\begin{eqnarray*} b = \arctan \left( \frac{6}{4} \right) \end{eqnarray*}$

Der andere Wert $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{52} \end{eqnarray*}$ ist richtig, aber das ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{13} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{13} \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Forum Kloppe

11.05.2010, 21:50

Hanspeter2

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Also geht es nur um $\begin{eqnarray*} 4\sin(x)+6\cos(x) = A\sin(x+b) \end{eqnarray*}$ , schwere Geburt...

Was ist denn nun am verlinkten Thread unverständlich?

Zitat:

Original von Hanspeter2
b=cot(6/4)=cot(3/2)

Nein, sondern

$\begin{eqnarray*} b = \arctan \left( \frac{6}{4} \right) \end{eqnarray*}$

Der andere Wert $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{52} \end{eqnarray*}$ ist richtig, aber das ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{13} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{13} \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Forum Kloppe

ne, es geht um
$\begin{eqnarray*} 4\sin(x)+6\cos(x) -5 \end{eqnarray*}$

davon wertemenge, nullstellen,extrema, wendepunkte berechnen

11.05.2010, 21:58

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Zitat:

Original von Hanspeter2
ne, es geht um
$\begin{eqnarray*} 4\sin(x)+6\cos(x) -5 \end{eqnarray*}$

Eine sehr, sehr dumme Antwort nach all den Vorbetrachtungen. Na, dann Tschüss. Wink

Wink

11.05.2010, 22:02

Hanspeter2

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Muss ich das jetzt verstehen? verwirrt

verwirrt

11.05.2010, 22:05

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Naja, kurz vorm Ziel du vergisst einfach alles, was gesagt wurde, und ziehst dich auf deine Ausgangs-Aufgabenstellung zuürck - das ist einfach nur ärgerlich. unglücklich

unglücklich

Du kannst die -5 nicht einfach mit in den Sinus verwursteln, das habe ich x-mal gesagt, aber du ignorierst es beharrlich, das ist doch zum Verrücktwerden. Finger1

Finger1

11.05.2010, 22:09

Hanspeter2

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das habe ich doch verstanden, ich kann das -5 zusammen mit dem sinus und cosiuns nichtin die form a*sin ..... bringen. aber die aufgabe steht eben mit dem -5 da, und ich soll die wertemenge, nullstellen,extrema, wendepunkte berechnen.

Meine idee war ja den gesamten ausdruck in die form A*sin ..... zu bringen und dann die lösungen(wertemenge, nullstellen,extrema, wendepunkte) abzulesen. nun hast du gesagt ich kann es so nicht machen, wie berechne ich es dann verwirrt

verwirrt

wertemenge, nullstellen,extrema, wendepunkte)

11.05.2010, 22:11

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Wenn $\begin{eqnarray*} 4\sin(x)+6\cos(x) = A\sin(x+b) \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist

$\begin{eqnarray*} 4\sin(x)+6\cos(x)-5 = A\sin(x+b)-5 \end{eqnarray*}$ ,

das sollte doch wohl klar sein. Und das war jetzt mein letztes Wort im Thread, steht ja eigentlich alles da, wenn du es mal in Ruhe zusammenträgst. böse

böse

11.05.2010, 22:23

Hanspeter2

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ok danke, ich probiers mal so

12.05.2010, 10:09

Hanspeter2

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OK, hab jetzt mal eine aufgabe durchgerechnet, aber anscheinend irgendwo nen fehler gemacht:

f(x) = 2sin(x)+3cos(x)-2
Im Bereich [0;2*pi[
a=sqrt(13)=3,61
b=arctan(3/2)=0,98

=>2sin(x)+3cos(x) = 3,61*sin(x+0,98)

So, die wertemenge hab ich ausgerechnet, da kommt das korrekte ergebnis heraus.

Nun die Nullstellen: DIe erste sieht man bei der urgleichung(sin muss 1 werden und cos zugleich 0, das ist klar, nun also die zweite suchen)

3,61*sin(x+0,98)=2 (durch 3,61 teilen)
sin(x+0,98)=0,55
x+0,98=arcsin(0,55)
x+0,98=0,5823
x=0,5941

Das ergebnis is leider falsch, es sollte irgend ne zahl größer als 5 herauskommen.

Ok, irgendwo rechenfehler, also mal die extremwerte suchen:
erste ableitung ist:
2cosx-3sinx
a=sqrt(13)=3,61
b=arctan(2/3)=0,5880 (hier hab ich zähler und nenner andersherum weil sich ja cos und sin geändert haben)
=>
3,61*sin(x+0,5880)=0
So, daraus kann man nun ablesen das x einmal -0,5880 sein muss und einmal pi-0,5880

Leider sind beide ergebnisse falsch.
0,5882 und 3,7298 sollten herauskommen.(ich glaube nicht das das eine ergebnis ein rundungsfehler ist.)
Ich könnte natürlich anhand der wertemenge zurückrechnen was herauskommen muss und so die extrema haben, aber es geht ja darum das ich es auch so können sollte.

WO liegt mein fehler?

14.05.2010, 20:31

Hanspeter2

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jemand da der meinen fehler sieht?

19.05.2010, 12:48

mYthos

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Zitat:

Original von Hanspeter2
...
3,61*sin(x+0,98)=2 (durch 3,61 teilen)
sin(x+0,98)=0,55
x+0,98=arcsin(0,55)
x+0,98=0,5823
...

Bis dahin stimmt es (ausser Rundungsfehler: -> 0,5547 und -> 0,9828), danach ist es falsch.
Richtig geht's so weiter:

x = -0,3948 + 2k*3,1416 (wegen der Periodizität), bei k = 1 wird

x1 = 5,8884

Da der Sinus noch einen Nebenwert im 2. Quadranten hat, gilt auch

x2 + 0,9828 = 3,1416 - 0,5547
-->
x2 = 1,5708 (= pi/2)

mY+

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