Sind diese Wurzeln irrationale Zahlen oder nicht

29.10.2006, 02:13	Blaubeere	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind diese Wurzeln irrationale Zahlen oder nicht Hallo, bin heute bei der Nachhilfe (Schülerin 9.Klasse) an meine Grenzen gekommen. Die hatten als Hausaufgabe ein paar Wurzeln bekommen und sollten bestimmen, ob sie rational oder irrational sind. Ein paar waren simpel, da kamen Dezimalzahlen raus mit nur ein paar Stellen hinter dem Komma - also rational. Aber was ist mit $\begin{eqnarray} \sqrt{5}, \sqrt{0.75} oder \sqrt{9,25} \end{eqnarray}$ Mein Taschenrechner zeigt halt nur 10 Stellen an und woher weiss ich, dass es nicht noch unendlich weiter geht ? Ich bin mit dem indirekten Beweis von Euklid für die Wurzel 2 auch nicht weiter gekommen. Sollte man dieses Beweisverfahren anwenden , um die oben genannten Wurzeln zu klassifizieren ? Oder geht es auch noch einfacher ? Mit bestem Dank für alle Tips im voraus Sabine
29.10.2006, 02:39	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Rauskriegen ob eine Zahl rational oder nicht ist, kann man mit Hilfe eines Taschenrechners ganz einfach, indem man sich das Ergebnis als Bruch anzeigen lässt. Wenn es keinen Bruch gibt, ist die Zahl irrational.
29.10.2006, 08:30	baal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind diese Wurzeln irrationale Zahlen oder nicht Hallo Blaubeere, Nimm mal an, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{5} \end{eqnarray}$ rational sei. Dann gibt es natürliche Zahlen $\begin{eqnarray} p \text{ und }q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sqrt{5}=\frac{p}{q} \end{eqnarray}$ . Auf beiden Seiten quadrieren und dann mit $\begin{eqnarray} q^2 \end{eqnarray}$ multiplizieren ergibt: $\begin{eqnarray} 5 \cdot q^2 = p^2 \end{eqnarray}$ Betrachte nun die Primfaktorzerlegung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens, Du siehst, dass die Primfaktoren jeweils in gerader Anzahl auftreten. Für die Zahl die auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht, tritt der Primfaktor 5 in einer ungeraden Anzahl auf. (Warum?) Dies ist aber nicht möglich, denn die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ist bis auf die Reihenfolge ihrer Faktoren eindeutig, eine natürliche Zahl kann also keine zwei verschiedenen Primfaktorzerlegungen haben (Fundamentalsatz der Arithmetik). Die Annahme, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{5} \end{eqnarray}$ rational ist, ist somit widerlegt. Für die Frage, ob $\begin{eqnarray} \sqrt{0.75} \end{eqnarray}$ irrational ist, kannst Du genau gleich argumentieren. Du musst vorher einfach noch etwas umformen: $\begin{eqnarray} \sqrt{0.75} =\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ . mfg baal
29.10.2006, 18:07	Blaubeere	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch Beiden für eure Antworten und ich hoffe, dass sie schnell das ganz normale Wurzelrechnen anfangen werden. Denn bei diesen Beweisen fange ich irgendwann an Gehirnknoten zu kriegen. Gruss Sabine
29.10.2006, 18:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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