Mengen skizzieren

10.05.2010, 18:14	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen skizzieren Guten Abend Matheboarder ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe (im Anhang). Was bedeuten den die kleinen Zahlen in den Mengen rechts unten am x ? Und warum sind hier zweimal Betragstriche vorhanden? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe! Gruß Flo
10.05.2010, 19:01	LLCoolDave	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind die p-Normen, und sie sind folgendermaßen definiert: Für $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n, 1\leq p < \infty \end{eqnarray}$ wird definiert: $\begin{eqnarray} \\|x\\|_p := \left(\sum_{k=1}^n \|x_k\|^p\right)^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{\|x_1\|^p + \|x_2\|^p + \dots + \|x_n\|^p} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} p=\infty \end{eqnarray}$ setzt man $\begin{eqnarray} \\|x\\|_{\infty} := \max\{\|x_1\|,\|x_2\|,\ldots,\|x_n\|\} \end{eqnarray}$ Sie stellen in gewisser Weiße eine Verallgemeinerung der Euklidischen Norm dar, für p=2 erhält man ja gerade die Euklidische Norm. Besonders die Fälle p=1 und p= $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ sind noch anschaulich gut zu verstehen. Über eine Norm wird ein Abstands bzw Längenbegriff definiert, d.h. der gleiche Vektor kann in verschiedenen Normen unterschiedlich lang sein. Sinn der Aufgabe ist es, sich das im R^2 einmal bildlich klar zu machen, in dem man die Menge alle Vektoren der Länge 1 (d.h. den Einheitskreis) in den drei verschiedenen Normen skizziert. Die p-Normen setzen sich auf natürliche weiße auf Folgen und sogar über Integrale auf Funktionen fort.
10.05.2010, 19:25	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Okeee also verstehe ich das dann richtig, dass meine Mengen für die Aufgaben dann: $\begin{eqnarray} \sqrt [2]{{x_1}^2+{x_2}^{2}} = 1 <br /> x_1 + x_2 =1 <br /> und <br /> \sqrt [ \infty]{ {x_1}^ \infty +{x_2}^ \infty } = 1 \end{eqnarray}$ istg es so richtg? jetzt muss ich sie nur noch skizzieren, bzw zeichnen. also: die erste gleichung müsste ein kreis sein mit dem radius 1 und dem mittelpunkt 0 das zweite ist glaube ich eine gerade die auf der y-achse durch -1 geht und das letzte ist ja ähhh ...da bin ich ratlos. tutm ir leid, dass ich jetzt hier so ein wenig planlos rumfragen aber unsere übungen gehen leider etwas anden vorlesungen vorbei, weshalb das teilweise recht schwierig ist und meine schulzeit ist schon eine ganze ecke her.
10.05.2010, 20:01	LLCoolDave	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte dass um die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ überall noch Beträge stehen, ausserdem ist im fall $\begin{eqnarray} p=\infty \end{eqnarray}$ die Norm als das Maximum der (Beträge) der Komponenten definiert. Deine drei Gleichungen sind also $\begin{eqnarray} \sqrt[2]{\|x_1\|^2+\|x_2\|^2}=\sqrt{x_1^2 + x_2^2} = 1<br /> \|x_1\|+\|x_2\| = 1<br /> \max\{\|x_1\|,\|x_2\|\} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p=\infty \end{eqnarray}$ als Maximum ist aber die sinnvolle Fortsetzung der Definition für endliches p. In diesem Fall erhälst du für die 2. Gleichung eine etwas andere Lösungsmenge. Das die Übungen an den Vorlesungen vorbeiarbeiten kenne ich leider selber ganz gut. Habt ihr denn überhaupt schon etwas über Normen gehört?
10.05.2010, 20:05	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein über Normen ist mir in Der Vorlesung noch nichts unter gekommen (oder überhaupt in meinem Studium) noch nichts unter gekommen. Habe mich grad extra nochmal im Script vergewissert Aber für die 2te Gleichung müsste ich dann glaube ich insgesamt 4 fälle betrachten oder? I: x>0, y>0 II: x<0, y<0 III: x>0, y<0 IV: x<0, y>0 oder? vielen dank für deine Hilfe bis hier hin
10.05.2010, 20:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen kleineres Problem
Anzeige

10.05.2010, 21:46	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe es fast soweit verstanden. Je höher die Potenz der n-Norm ist, desto mehr wird aus der Raute ein Quadrat im R^2, wobei die potenz 2 einen Kreis darstellt. Allerdings eine Frage habe ich noch und zwar ich habe jetzt die Menge $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_2 =1<br /> \sqrt {\|{x_1}\|^2+\|{x_2}\|^2}=1<br /> \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2}=1 \end{eqnarray}$ fallen hier die betragsstriche von schritt 2 nach 3 weg, da ich quadriere? und könnte ich nicht auch die wurzel wegquadrieren, sodass ich $\begin{eqnarray} {x_1}^2+{x_2}^2=1^2 \end{eqnarray}$ erhalte? vielen dank und einen schönen restabend wünsche ich noch gruß flo

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »