Grenzwert einiger Funktionen

10.05.2010, 20:03

Physinetz

Grenzwert einiger Funktionen

Hallo, (hatte den Post in eine falsche Kategorie reingehauen)

wie finde ich denn den Grenzwert für die Lücken für folgende Funktionen am einfachsten heraus (ohne l'Hospital):

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{cos\frac{\pi x}{2} }{x²*| x-1| } \end{eqnarray*}$

Also die Definitionslücke ist ja gegeben durch x=0 und x=1

Aber wie finde ich nun heraus gegen was das strebt, muss ich mir das jetzt in etwa so überlegen:

bei x=1 von rechts:

Zähler wird minimal (gegen 0)
Nenner wird minimal (gegen 0)
Also würde es gegen ...? Weiß nicht wirklich weiter, vielleicht 1?

bei x=0

Zähler gegen 1
Nenner wird minimal
Also plus unendlich?
Stimmt meine Herangehensweise ? Oder muss man den Term oben vereinfachen um das leichter herauszufinden?

Dankesehr sagt Physinetz

10.05.2010, 20:13

Leopold

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Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x = t+1 \end{eqnarray*}$ kannst du den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ zurückführen. Beachte ferner

$\begin{eqnarray*} \cos \left( u + \frac{\pi}{2} \right) = - \sin u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \end{eqnarray*}$

10.05.2010, 20:14

apple_drink

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Nach meiner skizze

auf 1 von rechts -1/2pi
auf 1 von links 1/2pi

auf 0 von rechts und links +unendlich

10.05.2010, 20:44

Physinetz

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Also ich komme auf:

Substitution: x=t+1

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{cos(t+1)*\frac{\pi }{2}) }{(t+1)²*| t| } = \lim_{t \to 0} \frac{-sin(t*\frac{\pi }{2} ) }{(t+1)²*| t| } = \end{eqnarray*}$

Hier hänge ich dann, weil ich ja oben ein anderes "u" habe als unten, vgl:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \end{eqnarray*}$

unten habe ich ja als u praktisch t stehen und oben steht aber t*pi/2

hoffe du verstehst was ich meine... (t+1)² stört mich daran auch noch, kann ich das als 1 betrachten für t-->0 ?
Oder muss ich das noch irgendwie speziell mit Grenzwerstätzen verrechnen?

Vielen Dank schonmal für ein paar weitere Tipps

Gruß Physi

10.05.2010, 22:31

Leopold

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$\begin{eqnarray*} - \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} \, t \right)}{(t+1)^2 |t|} = - \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} \, t \right)}{(t+1)^2 \left| \frac{\pi}{2} \, t \right|} \cdot \frac{\pi}{2} = - \frac{\sin u}{\left( \frac{2}{\pi} \, u + 1 \right)^2 |u|} \cdot \frac{\pi}{2} \ \ \text{mit} \ \ u = \frac{\pi}{2} \, t \end{eqnarray*}$

Und jetzt, wie immer mit Beträgen, eine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} u>0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} u<0 \end{eqnarray*}$ .

10.05.2010, 22:38

Physinetz

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ok habs verstanden, danke Leopold...

das ist aber echt eine deftigere Rechnung insgesamt ...

10.05.2010, 22:45

Leopold

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Das Erweitern mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist in dieser Situation ein alter Trick.

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