Funktionsschar mit e-Funktion

10.05.2010, 21:05

p_ocean

Funktionsschar mit e-Funktion

Hallo an alle Mitglieder des Matheboards,

ich brauch hilfe zu einer aufgabe........

es ist eine funktionsschar gegeben: $\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=(e^{x}-t)^2 \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Können verschiedene Graphen der Funktionsschar gemeinsame Punkte haben?

Mein Ansatz:
Im UNterricht haben wir das so gerechnet, dass wir überprüfen,ob $\begin{eqnarray*} f_{t1}(x)=f_{t2}(x) \end{eqnarray*}$ ist, indem wir versuchen nach x aufzulösen.

$\begin{eqnarray*} (e^{x}-t_{1})^2=(e^{x}-t_{2})^2 \end{eqnarray*}$

ich dachte mir als nächstes vllt die binomische formel anzuwenden.....

$\begin{eqnarray*} e^{2x}-2t_{1}e^x+t_{1}^2=e^{2x}-2t_{2}e^x+t_{2}^2 \end{eqnarray*}$

so...wie rechne ich am besten weiter? ich weiss ,dass ich an irgendeiner stelle logarithmieren muss...bin mir aber nich sicher...... verwirrt

wäre über jede hilfe sehr dankbar

10.05.2010, 21:15

Stefan03

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, alle $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ auf eine Seite, die t's auf die andere und dann kannst denn Ln anwenden.

Aber vllt. gehsts auch, wenn du gleich einfach die Wurzel ziehst?!? Wobei ob das schöner ist, weiß ich nicht...

10.05.2010, 21:28

p_ocean

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

alle $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ auf eine Seite, die t's auf die andere und dann kannst denn Ln anwenden.

hmmm...also wenn ich das richtig verstanden habe....wäre das so:

$\begin{eqnarray*} 2t_{1}e^x-2t_{2}e^x=t_{1}^2-t_{2}^2 \end{eqnarray*}$

und dann logarithmus....

$\begin{eqnarray*} x*ln2t_{1}e-x*ln2t_{2}e=2*ln t_{1}-2*ln t_{2} \end{eqnarray*}$

so richtig??? was nun?
muss ich etwa das x ausklammern?

10.05.2010, 22:56

Stefan03

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, die vorletzte Zeile stimmt, und da sollst schon schon $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ausklammern...

Weil $\begin{eqnarray*} ln(e^x)=1 \end{eqnarray*}$

Deine letzte Umformung ist eher falsch und bringt dich nicht zum Ziel...

11.05.2010, 11:53

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von StefanB
$\begin{eqnarray*} ln(e^x)=1 \end{eqnarray*}$

Vermutlich ein Schreibfehler.

$\begin{eqnarray*} \ln(e^x)=x \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \ln (e) = 1 \end{eqnarray*}$

11.05.2010, 13:07

Stefan03

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Zitat:

Original von StefanB
$\begin{eqnarray*} ln(e^x)=1 \end{eqnarray*}$

Vermutlich ein Schreibfehler.

$\begin{eqnarray*} \ln(e^x)=x \end{eqnarray*}$

Jup, sry...

11.05.2010, 13:34

dasmathegenie

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomm folgendes...

Du hattest ja

$\begin{eqnarray*} 2t_{1}e^x-2t_{2}e^x=t_{1}^2-t_{2}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^x (2t_1 - 2t_2) = t_{1}^2-t_{2}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^x =\frac{ t_{1}^2-t_{2}^2}{2t_1 - 2t_2}=\frac12 \cdot \frac{ t_{1}^2-t_{2}^2}{t_1 - t_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ t_{1}^2-t_{2}^2}{t_1 - t_2} \end{eqnarray*}$ ... hierauf kannste eine binomische Formel anwenden um es zu vereinfachen!

11.05.2010, 17:27

p_ocean

Auf diesen Beitrag antworten »

WOW....erstmal vielen dank für die antworten....

ich habs übrigens schon gestern (noch am selben tag) gelöst.....hätte ich vllt hinschreiben sollen...... sry Hammer

na ja hier meine lösung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^x (2t_1 - 2t_2) = t_{1}^2-t_{2}^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^x =\frac{ t_{1}^2-t_{2}^2}{2t_1 - 2t_2}=\frac12 \cdot \frac{ t_{1}^2-t_{2}^2}{t_1 - t_2} \end{eqnarray*}$

so habe ichs auch....dann weiter wie "dasmathegenie" bereits andeutet:

$\begin{eqnarray*} e^{x}=\frac{1}{2} * \frac{t_1^2-t_2^2}{t_1-t_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x}=\frac{1}{2} * (t_1+t_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=ln \frac{t_1+t_2}{2} \end{eqnarray*}$

x-wert ist jez berechnet worden.....wenn ich den funktionswert berechnen will setz ich ein in f(x)....

$\begin{eqnarray*} f(n \frac{t_1+t_2}{2})=(e^{ln \frac{t_1+t_2}{2}} -t)^2 \end{eqnarray*}$

der taschenrechner zeigt mir für f(x)= $\begin{eqnarray*} (\frac{t_1-t_2}{2} )^2 \end{eqnarray*}$

ist das richtig?? wie würde man das denn per hand rechnen??

11.05.2010, 18:11

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von p_ocean
$\begin{eqnarray*} f(ln \frac{t_1+t_2}{2})=(e^{ln \frac{t_1+t_2}{2}} -t)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn dann sollte das heißen

$\begin{eqnarray*} f(ln \frac{t_1+t_2}{2})=(e^{ln \frac{t_1+t_2}{2}} -t_1)^2 \end{eqnarray*}$

(Anstatt des $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ hinten kannst du auch $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ nehmen, das ist egal denn die Funktionswerte sind ja gleich.

Nun, was ist denn

$\begin{eqnarray*} e^{\ln (\text{irgendwas})} \end{eqnarray*}$

?

Danach sollte es kein Problem mehr mit dem Auflösen geben.

11.05.2010, 18:15

p_ocean

Auf diesen Beitrag antworten »

upps ich mein der taschenrechner zeigt mir für f(x) das an:

$\begin{eqnarray*} f(n \frac{t_1+t_2}{2})=(e^{ln \frac{t_1+t_2}{2}} -t)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(n \frac{t_1+t_2}{2})=(\frac{t_1+t_2}{2} -t)^2 \end{eqnarray*}$

ist das richtig so???

Zitat:

Nun, was ist denn $\begin{eqnarray*} e^{\ln (\text{irgendwas})} \end{eqnarray*}$ ?

hmmm...ehrlich gesagt weiss ich das spontan jez nicht....ich werd mal ganz kurz nachgucken.

ALSO ICH VERMUTE MAL DASS $\begin{eqnarray*} e^{\ln (\text{irgendwas})} \end{eqnarray*}$ = EXPONENT OHNE LN IST RICHTIG?

11.05.2010, 18:35

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von p_ocean
$\begin{eqnarray*} f(n \frac{t_1+t_2}{2})=(e^{ln \frac{t_1+t_2}{2}} -t)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(n \frac{t_1+t_2}{2})=(\frac{t_1+t_2}{2} -t)^2 \end{eqnarray*}$

Ja, aber du kannst anstatt dem $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ruhig $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ schreiben. Dadurch kannst du den Ausdruck auch noch weiter vereinfachen.

Zitat:

Original von p_ocean

Zitat:

Nun, was ist denn $\begin{eqnarray*} e^{\ln (\text{irgendwas})} \end{eqnarray*}$ ?

Richtig, also sozusagen

$\begin{eqnarray*} e^{\ln (\text{irgendwas})} = \text{irgendwas} \end{eqnarray*}$ (natürlich nur wenn dieses irgendwas größer alsl 0 ist.

Dann haben wir also

$\begin{eqnarray*} f_{t_1}\left(\ln \frac{t_1+t_2}{2}\right)=\left(e^{ln \frac{t_1+t_2}{2}} -t_1 \right)^2 = \left( \frac{t_1+t_2}{2}-t_1 \right)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du in den Klammern noch zusammenfassen (Hauptnenner).

11.05.2010, 18:51

p_ocean

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ok das bedeutet für $\begin{eqnarray*} t_{1} \end{eqnarray*}$ wäre dann $\begin{eqnarray*} (\frac{-t_1+t_2}{2} )^2 \end{eqnarray*}$ der funktionswert......

der gemeinsamer punkt verschiedener graphen der funktionsschar liegt bei $\begin{eqnarray*} P( ln \frac{t_1+t_2}{2}| (\frac{-t_1+t_2}{2} )^2) \end{eqnarray*}$

kann man das so sagen?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^{\ln (\text{irgendwas})} = \text{irgendwas} \end{eqnarray*}$ (natürlich nur wenn dieses irgendwas größer alsl 0 ist.

eine andere frage: kommt hier ein bestimmtes gesetz oder regel zum einsatz und wenn ja, welches? mich wunderts es,dass ich es im tafelwerk nicht gefunden hab.

11.05.2010, 20:46

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Punkt ist korrekt.

Zur letzten Frage:

Die Regel, die du suchst lautet einfach nur "Die natürliche Logarithmusfunktion und die Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen und heben sich daher auf".

Deshalb ist

$\begin{eqnarray*} e^{\ln (x)} = x \end{eqnarray*}$ (für x > 0)

oder

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = x \end{eqnarray*}$ (für x > 0)

oder

$\begin{eqnarray*} \arcsin (\sin (x)) = x \end{eqnarray*}$

usw.

Sowas muss nicht ins Tafelwerk, das weiß man einfach smile

Neue Frage »

Antworten »

Funktionsschar mit e-Funktion

Verwandte Themen