Hauptzweig kompl. Log. in Potenzreihe

11.05.2010, 08:35

Stefan03

Hauptzweig kompl. Log. in Potenzreihe

Hallo,

ich soll den Hauptzweig des Log. um den Punkt $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ in eine Potenzreihe entwickeln.

Leider habe ich keine Idee, wie ich das machen soll.

Taylor hilft mir hier eher auch nicht weiter, glaub ich smile

Ich weiß nur, dass $\begin{eqnarray*} log(z+1)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}{n!}z^n \end{eqnarray*}$

Aber da habe ich ja den Entwicklungspunkt 1.

11.05.2010, 11:38

Leopold

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RE: Hauptzweig kompl. Log. in Potenzreihe

Zitat:

Original von StefanB
Ich weiß nur, dass $\begin{eqnarray*} log(z+1)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^{n-1}}{n!}z^n \end{eqnarray*}$

Erstens ist hier ein falscher Summationsbeginn, und zweitens hat die Fakultät da nichts verloren.

Ist $\begin{eqnarray*} F(z) = \operatorname{Log} z \end{eqnarray*}$ der Hauptzweig des Logarithmus, so gilt ja

$\begin{eqnarray*} f(z) = F'(z) = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

Und jetzt würde ich mit der Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beginnen und die von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ daraus durch Integration ermitteln:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \left( z - (1 + \operatorname{i}) \right)^k \end{eqnarray*}$

Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} F(z) = F(1 + \operatorname{i}) + \sum_{k=1} \frac{a_{k-1}}{k} \left( z - (1 + \operatorname{i}) \right)^k \, , \ \ \left| z - (1 + \operatorname{i}) \right| < \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Und die Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ findest du mit der geometrischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} = \frac{1}{1 + \operatorname{i}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \operatorname{i}} \cdot \left( z - (1 + \operatorname{i}) \right)} \end{eqnarray*}$

Hier geht es aber auch gut mit der Formel von Taylor, da die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ leicht berechenbar sind.

13.05.2010, 16:24

Stefan03

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Hi,

hab mich jetzt bissl mit der Taylor-Reihe gespielt und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} log(z)=log(1+i)+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(1+i)^n} \cdot (z-(1+i)^n \end{eqnarray*}$

Nun soll ich daraus die Formel für $\begin{eqnarray*} log(2) \end{eqnarray*}$ berechen.

Einfach für $\begin{eqnarray*} z=2 \end{eqnarray*}$ einsetzen?

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