Surjektivität

11.05.2010, 16:16

nullfolge

Surjektivität

Meine Frage:
Zu zeigen ist, dass F(x1+2x2,x2-x1) surjektiv ist.

Meine Ideen:
Ich weiß nicht, wie ich die Definition der Surjektivität darauf anwende.
Es muss ja für alle y element R x1,x2 existieren, mit f(x1,x2)=y
so und nun hört es schon auf.
wenn ich annehme die funktion wäre nicht surjektiv, müsste es ein y element R für alle x1,x2 geben sodass f(x1,x2) ungleich y...
jetzt weiß ich nicht weiter,
danke schon mal.

11.05.2010, 16:36

Reksilat

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RE: Surjektivität
Bitte poste die vollständige Aufgabe. Wie ist Deine Abbildung genau definiert? Gibt es einen Unterschied zwischen f und F?
"Zu zeigen ist, dass F(x1+2x2,x2-x1) surjektiv ist." ergibt für mich keinen Sinn. verwirrt

Gruß,
Reksilat.

11.05.2010, 16:39

nullfolge

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RE: Surjektivität
Sorry...hab mich verschrieben....Ich soll zeigen,dass F(x)=(x1+2x2,x2-x1) surjektiv ist.

Bei meinen Ideen soll doch f ein F sein.

11.05.2010, 16:41

nullfolge

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RE: Surjektivität
mit F: R2->R2

11.05.2010, 16:48

Reksilat

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RE: Surjektivität
Du kannst Dir zum Beispiel eine Vorschrift suchen, wie Du für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} y=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ einen Vektor $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ konstruieren kannst, mit $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ . Das heißt, Du bildest quasi die Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten kannst Du auch zeigen, dass die Abbildung injektiv ist und Resultate über endlichdimensionale Vektorräume aus der Vorlesung verwenden - wenn Ihr denn schon so weit seid.

Gruß,
Reksilat.

11.05.2010, 18:05

nullfolge

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aber wie genau forme ich weiter um, wenn ich:

(x1,x2)=(y1+2y2,y2-y1) habe?

11.05.2010, 18:08

Reksilat

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Du hast in jeder Komponente eine Gleichung stehen. Macht zwei Gleichungen: ein LGS.
Wie man das löst ist dann bekannt.

11.05.2010, 18:17

nullfolge

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ist dann F(x1+x2)=3y2
die Umkehrfunktion?
Und somit habe ich gezeigt, dass F surjektiv ist?

11.05.2010, 19:22

nullfolge

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oder ist das nicht richtig?

11.05.2010, 20:33

Reksilat

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Das ist keine Funktion. Schreib bitte zuerst mal das Gleichungssystem auf.

11.05.2010, 22:01

nullfolge

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Das System ist:

x1=y1+2y2
x2=y2-y1

Dann hab ich das durch addition erhalten...

12.05.2010, 10:19

Reksilat

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Du hast einfach ohne nachzudenken die beiden Zeilen addiert. Was soll das?
Stelle nach $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ um.
Die Umkehrfunktion hat die Form $\begin{eqnarray*} g(y_1,y_2)=... \end{eqnarray*}$

12.05.2010, 11:06

nullfolge

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Ist dann g(y1,y)= ((x1+x2)/3,(x1+2x2)/3) ?

12.05.2010, 11:13

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} y_1=(x_1+x_2)/3 \end{eqnarray*}$ ist richtig. Dagegen ist $\begin{eqnarray*} y_2=(x_1-2x_2)/3 \end{eqnarray*}$ .

Und nun? Fragen?

12.05.2010, 11:24

nullfolge

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Ich hatte vorhin eigentlich raus: y1= (x1+2x)/3 und y2=(x1+x)/3
Ist das auch möglich?

Danke dir schon mal.
Nur hab ich noch eine Frage, warum genau zeige ich, dass F surjektiv ist, wenn ich die Umkehrfkt. bilde?

12.05.2010, 11:30

Reksilat

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RE: Surjektivität
Was soll denn x sein? Rechne doch einfach noch mal nach, dann siehst Du, dass Deine Gleichung für y2 nicht stimmen kann.

Bzgl. Surjektivität hatte ich oben geschrieben:

Zitat:

Original von Reksilat
Du kannst Dir zum Beispiel eine Vorschrift suchen, wie Du für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} y=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ einen Vektor $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ konstruieren kannst, mit $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ . Das heißt, Du bildest quasi die Umkehrfunktion zu f.

Wenn Du das nicht verstanden hast, warum fragst Du dann nicht?

12.05.2010, 11:34

nullfolge

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x ist bei mir x2......

dann hast du aber y1 und y2 verdreht

ich hatte eine andere gleichung benutzt und deswegen müsste meins auch stimmen

12.05.2010, 11:47

Reksilat

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Stimmt! Ich hab $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ verdreht. Hammer

Bei Deiner Formel für y1^musst Du aber auch noch das Plus durch ein Minus ersetzen.

Allerdings sehe ich gerade, dass das hier die ganze Zeit über falsch läuft. Ich war gestern etwas in Eile und habe das übersehen und heute fällt es mir erst jetzt auf.
Also: Wie ich oben geschrieben habe, war unser Ziel doch, für jedes $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ ein Paar $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ zu finden, mit: $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$
Anschließend hast Du irgendwie die Rollen von $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ vertauscht.

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