holomorph Logarithmen

11.05.2010, 18:35

zozo

holomorph Logarithmen

Hi
ich habe eine Hausgabe , ich hab versucht ,aber............. verwirrt

sie lautet:
Sei $\begin{eqnarray*} G\subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein Gebiet und $\begin{eqnarray*} f:G\rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorph mit $\begin{eqnarray*} f(z)\neq{0} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in{G} \end{eqnarray*}$ .
(a) Zeigen Sie , dass zu zwei holomorphen Logarithmen $\begin{eqnarray*} l_1,l_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ derart existiert,dass $\begin{eqnarray*} l_1-l_2\equiv{2\pi{i}k} \end{eqnarray*}$ gilt.
(b) Sei $\begin{eqnarray*} A\subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ kompakt mit $\begin{eqnarray*} 0\in{A} \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} k\in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie ,dass Funktion $\begin{eqnarray*} $\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z\mapsto \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z^k \end{eqnarray*}$
genau dann einen holomorph Logarithmus besitzt ,wenn $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

11.05.2010, 19:01

gonnabphd

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Zu a): $\begin{eqnarray*} x,x',y,y' \in \mathbb{R}: \quad \exp(x+iy) = \exp(x'+iy') \Leftrightarrow \ldots \end{eqnarray*}$ ???
Das sollte man schon noch wissen. Und dann noch $\begin{eqnarray*} l_i = Re(l_i) + i Im(l_i) \quad i=1,2 \end{eqnarray*}$

12.05.2010, 17:59

zozo

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können wir zeigen , mit Stammfunktion? oder

12.05.2010, 18:31

gonnabphd

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Zitat:

können wir zeigen , mit Stammfunktion? oder

lol, super Beitrag... Big Laugh

Vermutlich gibt es Wege, das (was auch immer du genau meinst) mit einer Stammfunktion zu zeigen. Andererseits könnte man es natürlich aber auch versuchen über die 11-te Ableitung zu zeigen. Oder mit sonstwas.

Also: entweder irgendeinen Inhalt vermitteln oder

Spam

12.05.2010, 20:00

gonnabphd

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Ich wiederhole mich mal:

Wann gilt für $\begin{eqnarray*} x,x',y,y' \in \mathbb{R}: \quad \exp(x+iy) = \exp(x'+iy') \end{eqnarray*}$ ?

Welche Relation besteht dann zwischen x und x' bzw. y und y'?

12.05.2010, 21:01

zozo

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meine Idee ist einfache
so, es gibt ein Satz ,besagt : $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph und $\begin{eqnarray*} f (z) \end{eqnarray*}$ nicht gleich Null dann äuqivalent:
1) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besitzt einen holomorphen Logaritmus
2) $\begin{eqnarray*} \frac{f'}{f} \end{eqnarray*}$ besitz eine holomorphe Stammfunktion:
dann betrachte $\begin{eqnarray*} l_1 , l_2 \end{eqnarray*}$ Stamm. Fkt'en von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ auf G.
$\begin{eqnarray*} exp(l_1(z)-l_2(z))=......... \end{eqnarray*}$

es ist besser ,oder Augenzwinkern

12.05.2010, 21:44

gonnabphd

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Ja, wieso schreibst du deine Idee nicht gleich so hin?! smile

Naja, nun hast du aber ja noch nicht allzu viel gezeigt. Benutze jetzt meinen Tipp und

$\begin{eqnarray*} \exp(l_1 - l_2) = \frac{\exp(l_1)}{\exp(l_2)} = 1 \end{eqnarray*}$

Wie sieht nun also der Realteil von $\begin{eqnarray*} l_1 - l_2 \end{eqnarray*}$ aus und wie der Imaginärteil?

12.05.2010, 22:42

zozo

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Hi
so, dann kann man direkt schreiben:
$\begin{eqnarray*} \exp(l_1-l_1)=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \surd \end{eqnarray*}$
d.h $\begin{eqnarray*} l_1-l_2= 2\pi{ik} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\mathbb{Z}$ \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \exp(z)=1\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z\in{2\pi{i}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} =2\pi i k \end{eqnarray*}$ }

smile

12.05.2010, 22:50

zozo

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jemand hat eine Idee von Teil (b) verwirrt

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