Bild und BAsis einer Matrix

11.05.2010, 19:08

Lentio

Bild und BAsis einer Matrix

Hallo,
ich hab hier ein Problem mit folgender Aufgabe:
Matrix erfüllt folgende Bedingungen:
$\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} , A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie Bild(A) sowie eine Basis von Bild(A).

A hab ich bestimmt mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -3 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie errechne ich Bild? Peinlich, aber ich versteh nichtmal ganz, was das sein soll??
Die Basis würd ich dann bestimmen durch linear unabhängige Vektoren.

11.05.2010, 19:45

Felix

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Naja die Matrix kannst du ja als lineare Abildung von R^2 nach R^3 aufassen. Als solche hat sie natürlich ein Bild. Dieses erhältst du aber schon wenn du bedenkst, dass eine lineare Abbildung eindeutig bestimmt ist durch die Bilder einer Basis.

11.05.2010, 19:51

Lentio

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Und wie berechne ich jetzt Bild(a)?

11.05.2010, 19:57

Lentio

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Ist Bild A =span(A)?

11.05.2010, 20:09

Evelyn89

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das Bild der zur Matrix A gehörigen linearen Abbildung ist die lineare Hülle/der Spann der Spaltenvektoren von A. Und wie man die Basis davon bestimmt weißt du bestimmt.

11.05.2010, 20:19

Lentio

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Also ist Bild(A)= $\begin{eqnarray*} r\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit (-2,-3,0) und (4,6,0) als Basis?

12.05.2010, 07:52

klarsoweit

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Sind denn deine Basisvektoren linear unabhängig?

12.05.2010, 08:38

Lentio

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Das LGS hat zwei Gleichungen, wobei die 2. nach dem einsetzen von r=2s 0=0 ist.
Ist damit die Bedingung für lineare Unabhängigkeit mit r=s=0 erfüllt? Obwohl s wegfällt?

12.05.2010, 09:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lentio
Ist damit die Bedingung für lineare Unabhängigkeit mit r=s=0 erfüllt?

Nein. Du mußt Werte für r und s finden, von denen wenigstens einer nicht Null ist.

12.05.2010, 10:00

Lentio

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okay, also ich hab jetzt die Matrix A transponiert: $\begin{eqnarray*} A^{T}= \begin{pmatrix} -2 & -3 & 0 \\ 4 & 6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nach dem Anwenden von Gauß: $\begin{eqnarray*} A^{T}= \begin{pmatrix} -2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ also muss $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Basis des Bildes(A) sein, oder?

12.05.2010, 10:41

klarsoweit

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Nun ja, das ist eine mögliche Basis, aber nicht die Basis. smile