Für welche n sind die Ergebnisse natürlich?

11.05.2010, 21:37

PeterH

Für welche n sind die Ergebnisse natürlich?

Meine Frage:
Hallo alle miteinander,
Ich habe hier eine Aufgabe, von der ich eigentlich dachte, sie sei recht schnell zu lösen. Allerdings komme ich nicht weiter und brauche deshalb Hilfe. Die Frage ist:
Für welche Werte erhalte ich für die allgemeine Form $\begin{eqnarray*} f(n)=\frac{(3^{a} \cdot n+b)}{2^c} \end{eqnarray*}$ nur natürliche Ergebnisse bzw. welche Formel $\begin{eqnarray*} f(n)_{2} \end{eqnarray*}$ kann ich errechnen, damit dafür nur natürliche Werte herauskommen?
Ein Beispiel zur Veranschaulichung:
Für $\begin{eqnarray*} f(n)=\frac{(3^{2} \cdot n+7)}{2^3} \end{eqnarray*}$ gibt es für die Zahlen 1,9,17,25... natürliche Ergebnisse. Allgemein für Zahlen, die sich mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f(n)_{2} =8\cdot x-7 \end{eqnarray*}$ bilden lassen, wenn man für x natürliche Zahlen einsetzt.
Num meine Frage:
Kann man dies verallgemeinern, sodass man für beliebige a,b und c die richtige Funktionsvorschrift herausfindet?
Ich wäre über jede Art von Hilfe sehr erfreut.
Mit freundlichen Grüßen,
Peter

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, dass f(x) natürlich sein muss, wenn gilt
$\begin{eqnarray*} 3^{a} \cdot x\equiv \left(2^{b}-c(mod 2^{b} \right)) (mod 2^{b} ). \end{eqnarray*}$
Wenn man dann das erste x, für das dies gilt $\begin{eqnarray*} (= x_{0}) \end{eqnarray*}$ gefunden hat, sind alle folgenden Ergebnisse durch $\begin{eqnarray*} f(x)=2^{b} \cdot x-x_{0} \end{eqnarray*}$ darstellbar. So weit so gut. Doch wie finde ich heraus, für welches x dies gilt?
Ich habe vor kurzem schon einmal eine solche Frage gestellt und wurde dann auf den erweiterten euklidischen Algorithmus verwiesen, der zwar sehr interessant ist, allerdings keine Verallgemeinerung zulässt. Zwar habe ich nach einer solchen gesucht, das es sich ja um einen Spezialfall handelt, habe jedoch nur nicht zufriedenstellende Ergebnisse gefunden. Wonach ich eigentlich suche ist nämlich eine verallgemeinerte Formel, die sich auf beliebige Gleichungen ausweiten lässt.

11.05.2010, 22:43

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Zitat:

Original von PeterH
Ich habe vor kurzem schon einmal eine solche Frage gestellt und wurde dann auf den erweiterten euklidischen Algorithmus verwiesen

Zu Recht, der bringt es.

Zitat:

Original von PeterH
, der zwar sehr interessant ist, allerdings keine Verallgemeinerung zulässt.

Verallgemeinerung in welche Richtung? Was dein obiges Problem betrifft, das ist lediglich ein Spezialfall der einfachen linearen Kongruenz

$\begin{eqnarray*} ax \equiv b \bmod m \end{eqnarray*}$ ,

keine Verallgemeinerung. unglücklich

12.05.2010, 15:31

PeterH

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Ich meine damit, dass der Erweiterter Euklidische Algorithmus lediglich eine Vorgehensweise ist. Ich bin für das, was ich vorhabe jedoch eher auf der Suche nach einer Formel, die - setzt man die Werte a, b und c ein - den ersten Wert n ausspuckt, aus dem sich ja dann alle weiteren passenden n-Werte ermitteln lassen. Ich habe mich jetzt nicht so genau mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus beschäftigt, daher weiß ich auch nicht ob und inwiefern man aus ihm statt einer Vorgehensweise eine einzige Formel machen kann.

12.05.2010, 15:45

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Es gibt eben auch "Formeln", die lassen sich nicht bequem durch zwei, drei Terme mit +-*/ darstellen, das wirst du vermutlich auch irgendwann mal begreifen. Augenzwinkern

12.05.2010, 15:54

PeterH

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Okay, dass das so einfach nicht geht, habe ich mir schon gedacht. Wie sehen diese denn aus (bzw. wo kann ich dazu mal ein wenig recherchieren)?

12.05.2010, 16:01

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Gemäß Euler-Fermat kannst du auch direkt die Lösung

$\begin{eqnarray*} n \equiv -b\cdot 3^{k 2^{c-1}-a} \bmod 2^c \end{eqnarray*}$

(wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ beliebig ganzzahlig ist) angeben, für $\begin{eqnarray*} c\geq 3 \end{eqnarray*}$ müsste sogar

$\begin{eqnarray*} n \equiv -b\cdot 3^{k 2^{c-2}-a} \bmod 2^c \end{eqnarray*}$

klappen. Für größere $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ kann das aber ziemlich unhandlich werden... Augenzwinkern

12.05.2010, 16:02

PeterH

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Egal! Das reicht mir vollkommen. Vielen Dank!!! smile

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