Ähnlichkeit |
| 11.05.2010, 23:13 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Ähnlichkeit Ich sitze hier vor einer LA Übung und zwar lautet die Aufgabenstellung. Welche der folgenden Matrizen sind zueinander ähnlich? Nun sind 9 3x3 Matrizen mit unterschiedlichen Werten aufgelistet. Für Ähnlichkeit von Matrizen ist folgendes definiert: Ähnliche Matrizen besitzen dieselben Eigenwerte Daraus folgt, dass sie * den gleichen Rang, * die gleiche Determinante, * die gleiche Spur, * das gleiche charakteristische Polynom, * das gleiche Minimalpolynom und * die gleiche Jordansche Normalform haben. Nun meine Frage. Muss ich nun wirklich für alle 3x3 Matrizen jeden einzelnen Punkt ausrechnen, oder gibt es einen Trick bei der ganzen Sache? Ich kann mir nicht vorstellen das das eine "Fleiß" Aufgabe darstellen soll. Vielen Dank schonmal im vorraus! |
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| 11.05.2010, 23:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Ähnlichkeit Naja, du darfst die Kriterien ja auch zum Ausschluss nehmen. 
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| 11.05.2010, 23:22 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
und haben die gleichen Eigenwerte, sie haben jedoch nicht * den gleichen Rang, * die gleiche Spur, * das gleiche charakteristische Polynom, * die gleiche Jordansche Normalform. *** Sie sind insbesondere nicht ähnlich. Diese (und die anderen) Eigenschaften folgen also nicht aus der Gleichheit der Eigenwerte. Was die Aufgabe angeht, so solltest du mit der einfachsten Invariante anfangen, deine Matrizen in Gruppen aufzuteilen: am einfachsten zu bestimmen ist wohl die Spur. Dann je nach Wunsch Rang oder Determinante und dann die "unangenehmsten" Kriterien.
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| 11.05.2010, 23:23 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich muss aber alle 9 miteinander vergleichen. Und da lässt sich das schlecht mit dem Ausschlussverfahren machen. Wenn Matrize 1 nicht mit Matrize 2 ähnlich ist, heißt das noch lange nicht, das Matrize 2 nicht mit Matrize 8 ähnlich ist, und 1 vielleicht mit 5. Also wohl oder übel doch alles durchprobieren 
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| 11.05.2010, 23:27 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Quatsch. Sortiere die Matrizen als erstes mal nach ihrer Spur! Nachtrag: Vielleicht wäre es ganz gut, wenn du die Matrizen hier angeben würdest. |
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| 11.05.2010, 23:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Spur ist doch wirklich sehr einfach, und so bilden sich ggf. doch schon kleine Kandidatengruppen. Ich bin auch dafür, dass du die Matrizen (mit latex) mal zeigst.
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| 11.05.2010, 23:33 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Soo, damit kann ich eine ausschliesen. A1: 14 A2: 6 A3: 14 A4: 6 A5: 6 A6: 10 A7: 6 A8: 6 A9: 6 |
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| 11.05.2010, 23:42 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Überlege dir, nach welchen Kriterien du (A2,A4,A5) , (A8,A9) und (A7) zusammenfassen kannst. |
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| 11.05.2010, 23:47 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
A2 A4 und A5 haben die gleichen Eigenwerte A8 und A9 haben die gleichen Eigenwerte Mit A7 kann ich jetzt erstmal nicht viel auf anhieb anfangen 
Als nächstes das Char Polynom? edit: Hmm... obwohl, ich glaube Determinante geht erstmal schneller 
...Bin am rechnen^^ |
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| 12.05.2010, 00:08 | Ysmulc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So, nachdem ich det, EW und Char Polynom ausgerechnet habe, sind A1 A3 und A6 aus dem Rennen. A2, A4, A5 und A7 sind nach meinen Berechnungen ähnlich, und A8 ist mit A9 ähnlich. Ich denke mal als nächstes das Minimalpolynom ausrechnen bringt etwas, da ich vermute das das bei einigen unterschiedlich ist. Bin ich auf dem richtigen Weg? Nun probier ich doch alles durch 
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| 12.05.2010, 06:33 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die sind hier in der Tat alleine, ohne eine zu ihnen ähnliche Matrix.
Falsch.
Richtig.
Ja, auf 3x3-Matrizen genügen dir charakteristisches Polynom und Minimalpolynom um die Frage nach der Ähnlichkeit zu beantwroten. |
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