Dimension von Unterräumen |
| 12.05.2010, 11:10 | excel-niete10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Dimension von Unterräumen ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen: es gibt 4 Vektoren v1=(1,0,1,0),v2=(2,0,1,1),v3=(-2,0,0,-2) und v4=(1,1,1,1) jetzt soll ich die Dimension folgender Unterräume bestimmen: U1:= Lin(v1, v2,v3) U2:= Lin(v1, v2)+ Lin(v3, v4) U3:=U1 geschnitten U2. U1 hab ich so gelöst, dass ich gezeigt habe, dass sich der Vektor v3 durch (-2)v1+2(v2) darstellen lässt! daraus folgt doch, dass die Dimension von U1=2 ist oder?? bei U2 weiß ich folgendes nicht: kann ich einfach alle 4 vektoren zusammen nehmen? dann wäre für mich die Dimension von U2=3, oder muss ich je v1,v2 und v3,v4 zu zweit betrachten? wenn ja wie? Würde mich freuen wenn mir jemand hilft! :-) Liebe Grüße, excel-niete10 |
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| 12.05.2010, 11:38 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei der a) musst du die Summe noch mit (-1) multiplizieren, damit du v3 erhälst, aber ansonsten erstmal richtig. Wieso sind v1 und v2 nicht linear abhängig? Es ist , dieses Erzeugendensystem musst du jetzt auf lineare Abhängigkeit untersuchen. |
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| 12.05.2010, 12:19 | excel-niete10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zu U1 schonmal danke! 
zu U2: ja ok, und wenn ich das gemacht habe? was passiert wenn sie linear abhänig sind? und was wenn sie unabhängig sind? ich ab da das grundlegende problem, dass ich dann nicht weiß was es bedeutet! bei U1 z.B. waren da die Vektoren dann lin. abhängig? |
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| 12.05.2010, 12:22 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann geh noch mal einen Schritt zurück, wie habt ihr denn linear abhängig/unabhängig definiert, was ist der Unterschied zwischen Basis und Erzeugendensystem, wie ist die Dimension eines (in dem Fall endlich erzeugten) Vektorraums definiert? |
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| 12.05.2010, 12:51 | excel-niete10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
lin. abhänig bedeutet ja, das es mehr als die triviale lösung (also wenn z.B. alle lambda=0) und bei lin. unabhängig gibt es eben nur diese eine lösung. die vektoren einer basis erzeugen den ganzen vektorraum! oder ist das dann das Erzeugnedensystem?? und die Dimension ist die Mächtigkeit der Basis. |
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| 12.05.2010, 12:55 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lösung wozu?
Ja, jede Basis ist ein Erzeugendensystem des Vektorraums, aber nicht jedes Erzeugendensystem ist eine Basis. Was ist also das Besondere an einer Basis? Wieso macht es nur Sinn, die Dimension als Anzahl der Elemente einer Basis zu definieren und nicht als Anzahl der Elemente eines Erzeugendensystems? |
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| 12.05.2010, 13:39 | excel-niete10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah... die Vektoren einer Basis sind linear unabhängig? und bei einem Erzeugnedensystem muss das nicht der fall sein?! also ist, wenn die vektoren von U2 alle linear unabhängig sind, dann ist die mächtigkeit von U2=4 und wenn sie linear abhängig sind, wie gehts dann weiter? |
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| 12.05.2010, 13:44 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau das ist die wichtige Eigenschaft der Basis. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Wenn sie linear unabhängig wären, dann ja. Allerdings wissen wir ja noch nichts darüber. Wie kann man denn eine Menge von Vektoren auf lineare un/abhängigkeit überprüfen (du hast die Methode in diesem Thread schonmal angeschnitten gehabt)? |
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| 12.05.2010, 13:48 | excel-niete10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich nehme die vektoren jeweils mit einem lambda mal und setze es gleich Null, dann setzt ich das in die Matrixschreibweise um... rechne da dann hin und her... also das kann ich zumdindest!
und wenn für alle Lambda=0 raus kommt, dann sind sie lin. unabhängig. und wenn in der letzten Zeile 0=0 steht, dann sind sie abhängig. Muss ich dann einfach zeigen, dass einer der Vektoren durch die anderen Vektoren darstellbar ist? |
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| 12.05.2010, 13:57 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Um das ganze mal zu präzisieren: Du stellst die Gleichung auf und löst das entstehende Gleichungssystem. Wenn du nur die triviale Lösung erhälst, sind die Vektoren linear unabhängig, ansonsten linear abhängig. Dadurch ist schon gezeigt, dass "einer der Vektoren durch die anderen Vektoren darstellbar ist". In deinem Fall wäre die einfachste Methode um eine Basis zu bestimmen, die Vektoren als Zeilen einer Matrix aufzufassen und diese Matrix mit dem Gaußalgorithmus auf Zeilenstufenform zu bringen. Wie erhälst du dann damit direkt eine Basis? |
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| 12.05.2010, 14:07 | excel-niete10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja genau, so meinte ich das!
aber die Vektoren haben wir bis jetzt immer als spalte eingesetzt... als zeile noch nicht! das würde hier dann so aussehen bei U1: v1 und v2 stellen v3 dar, also bleibt v1 und v2 1 0 1 0 | 0 2 0 1 1 | 0 kommt hinter den strich eine null? aber wie ich das dann hier ablesen kann weiß ich ehrlich gesagt nicht! |
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| 12.05.2010, 14:11 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ob man das jetzt als Spalte einsetzt und Spaltenumformungen macht, oder als Zeile und Zeilenumformungen durchführt ist erstmal egal, man erhält beide Male das gleiche Ergebnis. Schreiben wir das für U1 mal als Matrix (mit allen Vektoren, da wir nicht von vornherein wissen, ob die linear unabhängig sind): Jetzt: Zeilenstufenform, wie sieht die bei dieser Matrix aus? |
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| 12.05.2010, 14:20 | excel-niete10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
puuhhh... also bei spalten ists ja so: 1 2 -2 | 0 0 1 -2 | 0 0 -1 2 | 0 0 0 0 | 0 aber bei zeilen... keine Ahnung! |
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| 12.05.2010, 14:22 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann machen wirs auf den Spalten. Bring die Matrix jetzt noch auf strikte Spaltenstufenform, was passiert dann? Du brauchst übrigens nicht den Nullvektor mitzuschleppen, den brauchen wir hierbei gar nicht 
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| 12.05.2010, 14:28 | excel-niete10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann bekommen wir: 1 2 -2 0 1 -2 0 0 0 0 0 0 und weiter? |
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| 12.05.2010, 14:37 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bist du sicher, dass du dich nicht verrechnet hast? 
Überprüf nochmal deine Rechnung, in der letzten Komponente sollten nicht alle Vektoren 0 werden. Danach: Bring das ganze auf strikte Spaltenstufenform. |
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