Verschoben! Potenzreihe von 1/x

12.05.2010, 18:47

spitzname

Potenzreihe von 1/x

Hallo, ich bin mir unsicher ob ich die Aufgabe richtig gerechnet habe und würde mich über Hinweise auf Fehler freuen!

Aufgabe:Entwickeln Sie f(x) = 1/x in eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x0 = 1.
Wie groß ist der Konvergenzradius dieser Reihe?

mein ansatz:
Taylorsche Reihe einer Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_o)+\frac{(f'x_0)}{1!}(x-x_0)^1 +\frac{(f''x_0)}{2!}(x-x_0)^2.... \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} f'(x)=-1*\frac{1}{x^2} f''(x)= 1*2*\frac{1}{x^3} f'''(x)=-1*2*3*\frac{1}{x^4} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in obige Formel liefert:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(1)+\frac{(f'(1))}{1!}(x-1)^1 +\frac{(f''(1))}{2!}(x-1)^2...... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ->1-\frac{1}{1!}(x-1)^1+\frac{2}{2!}(x-1)^2-\frac{6}{3!}(x-1)^3...... \end{eqnarray*}$

daraus folgt die Lösung:

$\begin{eqnarray*} 1-(x-1)^1+(x-1)^2-(x-1)^3....... \end{eqnarray*}$

gruß spitzname

12.05.2010, 18:59

Cel

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Schon ganz gut, aber du sollst das wohl in der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 0}^{\infty}~a_n (x-1)^n \end{eqnarray*}$

schreiben. Du hast nur die ersten Summanden gefunden. Versuche, eine allgemeingültige Formel für die Ableitung zu finden.

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = ? \end{eqnarray*}$

Edit: Das mit der -1 irritiert mich auch etwas ...
Edit2: Jetzt stimmt es. smile

Wie du weiter machen möchtest, bleibt wohl dir überlassen. Wink

12.05.2010, 18:59

Mystic

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RE: Potenzreihe von 1/x

Zitat:

Original von spitzname
daraus folgt die Lösung

$\begin{eqnarray*} -x+(x-1)^2-(x-1)^3....... \end{eqnarray*}$

Irgendwas will mir daran nicht gefallen, z.B. dass die Reihe an der Stelle x=1 den Wert -1 ergibt statt 1...

Nebenbei, warum gehst nicht den einfache Weg und entwickelst

$\begin{eqnarray*} \frac 1x = \frac 1 {1-(-(x-1))} \end{eqnarray*}$

in eine unendlich geometrische Reihe mit Quotient $\begin{eqnarray*} q=-(x-1) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

12.05.2010, 19:11

spitzname

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ok, danke!

ps: das mit unendlich geometrischen Reihe ist wohl einfacher aber ich bin nicht drauf gekommen verwirrt

, danke für den Tipp. Freude

gruß spitzname

13.05.2010, 11:56

spitzname

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RE: Potenzreihe von 1/x

Zitat:

Original von Mystic
[quote]Original von spitzname

in eine unendlich geometrische Reihe mit Quotient $\begin{eqnarray*} q=-(x-1) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Hallo Mystic, ich habe noch eine verständnis Frage, wie kommt man auf den Quotienten q=-(x-1)?

gruß spitzname

13.05.2010, 12:36

Mystic

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RE: Potenzreihe von 1/x

Zitat:

Original von spitzname
Hallo Mystic, ich habe noch eine verständnis Frage, wie kommt man auf den Quotienten q=-(x-1)?

Gegenfrage: Kennst du die Summenformel für eine unendlich gemetrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k, \quad |q|<1 \end{eqnarray*}$

Wenn ja, was ich jetzt mal annehme, musst du ja nur diese Formel vergleichen mit 1/x und kommst dann auf eine einfache Gleichung für q oder nicht? verwirrt

13.05.2010, 12:48

spitzname

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Das ist doch die Formel aber auf die gewünschte Antwort komme ich immer noch nicht drauf Hammer

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^(n-1) = 1+q^1+q^2 . . . \end{eqnarray*}$

meiner falschen Meinung nach müsste q=x sein Hammer

13.05.2010, 12:54

Mystic

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Zitat:

Original von spitzname
Das ist doch die Formel aber auf die gewünschte Antwort komme ich immer noch nicht drauf Hammer

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^(n-1) = 1+q^1+q^2 . . . \end{eqnarray*}$

Nein, das ist nicht die Formel, sondern du hast hier nur erklärt (noch dazu total falsch! unglücklich

), was das Summenzeichen bedeutet...Sowas nennt man in der Mathematik eine Definition...

13.05.2010, 13:10

spitzname

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Ok , jetzt habe ich die

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

und dür q muss man doch jetzt x einsetzen also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ oder?

13.05.2010, 13:14

Mystic

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Zitat:

Original von spitzname
Ok , jetzt habe ich die

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

und dür q muss man doch jetzt x einsetzen also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-1/x} \end{eqnarray*}$ oder?

Wenn du wirklich q=x einsetzen müsstest, dann wäre das ja zugleich die Antwort auf deine Frage, was ist q? verwirrt

13.05.2010, 13:24

spitzname

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ja aber dann wäre ja q=x und nicht =-(x-1) verwirrt

oder?

13.05.2010, 20:39

Mystic

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Zitat:

Original von spitzname
ja aber dann wäre ja q=x und nicht =-(x-1) verwirrt

oder?

Au weia, dass q=x ist hast ja du behauptet und nicht ich... geschockt

Wie du inzwischen offenbar wiederentdeckt, aber zwischendurch anscheinend vergessen hast, habe ich oben tatsächlich schon das richtige q angegeben, nämlich q= -(x-1)... Fassen wir also zusammen, du musst die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac 1x = \frac 1{1-q} \end{eqnarray*}$

nach q auflösen, kennst auch die Lösung (nochmals die ist nicht q=x oder q=1/x, sondern q=-(x-1) !!!) und jetzt fehlt einzig und allein die Rechnung dazu... Ich sehe nicht, was daran so schwer sein soll... verwirrt

14.05.2010, 19:18

spitzname

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Hurra

, ich habe verstanden Freude

also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{X}=\frac{1}{1-q} --> x=1-q --> q=1-x \end{eqnarray*}$

danke für deine Hilfe und vor allem für deine Geduld! Gott

gruß spitzname

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