[Artikel] Längstmögliche Leiter

12.05.2010, 20:40	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
[Artikel] Längstmögliche Leiter Frage: In das Erdgeschoß einer Halle soll durch das Tor eine möglichst lange Leiter gebracht werden. Das wird erschwert bzw. eingegrenzt durch folgende Gegebenheiten: Das Tor ist 3.20m hoch, seine Breite ist höchstens gleich groß, spielt aber weiter keine Rolle; der Raum hat eine Tiefe von 6.00m, seine Breite ist wie die Torbreite ebenfalls nicht von Belang. Auch ist er höher als die längstmögliche Leiter lang sein kann. [attach]14644[/attach] Es ergibt sich also die vertikale Ebene als einziger Bewegungsspielraum.
12.05.2010, 20:50	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
[Artikel] RE: Längstmögliche Leiter Allgemeine Überlegung: Die optimale Art, die Leiter in den Raum zu bringen, sieht so aus: die Leiter wird - parallel zur Schnitt-Ebene der Zeichnung - auf den Platz vor dem Tor gelegt. Dann wird das vordere Ende angehoben, bis es bei Punkt P anliegt, und die Leiter in den Raum gezogen, wobei sie einerseits immer an P entlangschleift, und das hintere Ende am Boden entlanggleitet. Nach kurzer Zeit wird sie mit dem vorderen Ende an der Innenwand anstehen, diese aber gerade nur berühren und - wenn sie die richtige Länge hat - sich bei weiterem Ziehen ohne Widerstand an der Rückwand des Raumes aufstellen lassen. Siehe dazu die Skizze. Ergänzung: Um die Aufgabe etwas zu vereinfachen, soll die Stärke der Leiterholme vernachlässigt werden, so dass wir es mit Strecken zu tun haben. Ansatz: Erstellen einer Funktion, die die Menge aller Strecken beschreibt, die folgende Bedingungen erfüllen: sie gehen durch Punkt P, sie schließen mit der Horizontalen in P den Winkel $\begin{eqnarray} 0<\alpha <90^\circ \end{eqnarray}$ ein, sie sind begrenzt durch den Boden und die Rückwand des Raumes. Indem $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ den definierten Bereich durchläuft, werden alle längsten Strecken erzeugt, die möglich sind. Die kürzeste dieser Strecken ist die gesuchte Länge für die Leiter. Die Strecke wird durch Punkt P in zwei Teilstrecken geteilt, für die gilt: Teilstück im Raum: $\begin{eqnarray} \,\,\,\, \frac{6.00}{cos\, \alpha} \end{eqnarray}$ restliches Teilstück: $\begin{eqnarray} \,\,\,\, \frac{3.20}{sin\, \alpha} \end{eqnarray}$ Wir erhalten als Funktion: $\begin{eqnarray} f(\alpha)=\frac{6.00}{cos\, \alpha}+\frac{3.20}{sin\, \alpha} \end{eqnarray}$ Zur Ableitung benötigen wir die Quotientenregel: $\begin{eqnarray} f'(\alpha)=\frac{0 \cdot cos\,\alpha-6\cdot (-sin\,\alpha)}{cos^2\, \alpha}+\frac{0 \cdot sin\,\alpha-3.20\cdot cos\, \alpha}{sin^2\, \alpha}=\frac{6\cdot sin\,\alpha}{cos^2\, \alpha}+\frac{(-3.20)\cdot cos\, \alpha}{sin^2\, \alpha} \end{eqnarray}$ Und als Ableitung bekommen wir: $\begin{eqnarray} f'(\alpha)=\frac{6\cdot sin^3\,\alpha-3.20\cdot cos^3\, \alpha}{cos^2\, \alpha \cdot sin^2\, \alpha} \end{eqnarray}$ Um sie 0 zu setzen, genügt es, den Zähler zu betrachten: $\begin{eqnarray} 6\cdot sin^3\,\alpha-3.20\cdot cos^3\, \alpha=0 \end{eqnarray}$ Dritte Wurzel bilden, quadrieren, und mithilfe von $\begin{eqnarray} sin² + cos² = 1 \end{eqnarray}$ substituieren ergibt: $\begin{eqnarray} \left(6^{\frac{2}{3}}+3.2^{\frac{2}{3}}\right)\cdot sin^2\,\alpha = 3.2^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ und letzlich erhalten wir: $\begin{eqnarray} \alpha \approx 39.0407^\circ \end{eqnarray}$ Um sicher zu gehen, dass der gefundene Extrempunkt ein Minimum ist, genügt ein Blick auf den Graphen (Winkelmaß Radiant!) . . . oder die Feststellung, dass $\begin{eqnarray} f''(\alpha) \end{eqnarray}$ an dieser Stelle größer als 0 ist. $\begin{eqnarray} f''(\alpha)=\frac{32sin^5(\alpha)+16cos^2(\alpha)\cdot sin^3(\alpha)+30cos^3(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)+60cos^5(\alpha)}{5cos^3(\alpha)\cdot sin^3(\alpha)} \end{eqnarray}$ Da der gefundene Winkel im ersten Quadranten liegt, sind alle Sinus- und Cosinus-Werte und auch deren Potenzen positiv, und da kein negatives Vorzeichen vorkommt, muss das Ergebnis positiv sein. Damit ergibt sich als Lösung eine 12.81 m lange Leiter (gerundet). Mit Dank an riwe soll noch eine zweite, schnellere Möglichkeit ab dem Null-Setzen der ersten Ableitung gezeigt werden: $\begin{eqnarray} 6\cdot sin^3\,\alpha-3.20\cdot cos^3\, \alpha=0\quad\| : cos^3\alpha\neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan^3\alpha=\frac{1.6}{3}\to \tan\alpha=\sqrt[3]{\frac{1.6}{3}} \end{eqnarray}$ Edit: Thalesman hat einen Formfehler entdeckt, den ich hiermit hoffentlich zur Gänze beseitigt habe. Danke für die Mitteilung.

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