Innenwinkel-Dreieck-Beweis

29.10.2006, 13:45	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Innenwinkel-Dreieck-Beweis Wie kann ich beweisen, dass die Summe der Innenwinkel in jedem beliebigen Dreieck $\begin{eqnarray} 180° \end{eqnarray}$ betragen? Hätte jemand eine Idee für mich, da ich in elementarer Geometrie leider keine Ahnung habe? LG Apokalypse
29.10.2006, 14:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Zeichne im Dreieck ABC beispielsweise durch die Spitze C eine Parallele zur Seite c. Dann siehst du links und rechts neben dem Winkel $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ auch die beiden anderen Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ als Parallelwinkel. Welchen Winkel ergeben diese drei dann zusammen? mY+
29.10.2006, 15:49	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach langen Qualen bin ich in der Lage gewesen das Bild so stark zu komprimieren, dass ich es jetzt anhängen konnte. Das Prinzip habe ich jetzt einigermaßen verstanden. Das hängt irgendwie mit den Stufen-und Wechselwinkeln zusammen. Nun folgt der nächste deftige Schritte. Man zeige, dass die Summe der Innenwinkel in einem konvexen n-Eck gleich $\begin{eqnarray} (n-2)\cdot 180° \end{eqnarray}$ ist. Was heißt eigentlich konvex? Und geht das per Induktion? LG Apokalypse
29.10.2006, 16:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sind einfach Parallelwinkel (deren Schenkel sind paarweise zueinander parallel) und daher sind sie gleich bzw. supplementär. Deine Skizze ist OK und zeigt genau den Sachverhalt. Du kannst sie auch direkt (also nicht in einem ZIP-File) hier raufladen. Konvex ist ein Vieleck dann, wenn alle seine Innenwinkel kleiner als 180° sind. Es ist also - sehr salopp gesagt - nach "außen gebogen" und hat keinen "Knick nach innen". Solch ein n n-Eck lässt sich in eine Anzahl Teildreiecke zerlegen! Wieviele, glaubst du, sind das? mY+
29.10.2006, 16:45	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
1 Dreieck besteht aus einem Teildreieck 1 Quadrat besteht aus zwei Teildreiecken 1 Fünfeck besteht aus drei Teildreiecken 1 Sechseck besteht aus vier Teildreiecken Die Anzahl der Teildreiecke eines n-Ecks ist also gleich $\begin{eqnarray} n-2 \end{eqnarray}$
29.10.2006, 16:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bingo! Jetzt kannst du auch leicht die Winkelsumme bestimmen! mY+
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29.10.2006, 17:30	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke mythos! Ich habe die ganze Zeit versucht per vollständiger Induktion zu hantieren und mit deiner Hilf ehat das jetzt auch geklappt. Behauptung: für $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt, die Summe der Innenwinkel eines konvexen n-Ecks beträgt $\begin{eqnarray} (n-2)\cdot 180° \end{eqnarray}$ Induktionsamfang $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ : Für das Dreieck gilt: $\begin{eqnarray} (3-2)\cdot 180°=180° \end{eqnarray}$ . Dies ist eine wahre Aussage wie wir bereits oben gezeigt haben. Induktionsschluss: Man schaut sich ein Dreieck mit $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ Ecken und das Dreieck mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Ecken an. Für das Dreieck mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Ecken gilt laut Induktionsanfang $\begin{eqnarray} (n-2)\cdot 180° \end{eqnarray}$ . Zu dem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Eck muss jetzt noch ein Dreieck, sprich $\begin{eqnarray} 180° \end{eqnarray}$ hinzugefügt werden, damit man das $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ -Eck erhält. Das $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ Eck hat somit die Winkelsumme $\begin{eqnarray} (n-2)\cdot 180°+180°=(n-1)\cdot 180°=[(n+1)-2]\cdot 180° \end{eqnarray}$ Damit wäre ich fertig, aber ich glaube nicht, dass das als Beweis durchgeht.
29.10.2006, 17:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Inhaltlich ist der Beweis ok, auch wenn man das vielleicht noch etwas besser aufschreiben könnte. Ein Fehler ist natürlich, dass du teilweise "das Dreieck mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Ecken" geschrieben hast. Das ist kein Dreieck, sondern ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Eck. Gruß MSS

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