Charakteristisches Polynom einer Matrix

13.05.2010, 13:07

chris0806

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Charakteristisches Polynom einer Matrix

Hallo Leute,

ich grübel gerade an einer Aufgabe und brächte vielleicht mal einen kleinen Denkanstoss von euch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Aufgabe lautet:
Ich soll das charakteristische Polynom folgender Matrix element R^n,n bestimmen:
Auf der Hauptdiagonalen steht nur (immer das selbe) lamda, also insgesamt n mal. Gleich auf der rechten Nebendiagonalen stehen nur Einser und Nuller; die Anzahl der Einsen ist dabei t, die Anzahl der Nuller demnach n-t.
Ansonsten stehen sonst überall nur Nuller.

Ich würde die Matrix hier gerne reinschreiben, aber ich weiss nicht wie das geht...bin noch ganz neu, und werde mich sehr bald mit den Funktionen hier im Forum vertraut machen, aber bitte helft mir so auch.

Wenn ich also nun das charakteristische Polynom von A berechnen will, muss ich ja die die Determinante von (T*Einheitsmatrix - A) berechnen (dabei sei T die Unbekannte).
Somit erhalte ich ja n! Summanden. Einer ist ja schonmal (T-lamda)^n, also einfach die Hauptdiagonale.
Bis dahin verstehe ich es, aber jetzt komme ich nicht mehr weiter unglücklich

unglücklich

Im Prinzip sind ja nur die Summanden der Permutationen relevant, bei denen ich die lamdas der Hauptdiagonalen oder eben die Einser auf der Nebendiagonalen miteinbeziehe, da ja sonst immer eine Null das Produkt zu Null macht.

Aber genau da komme ich nicht weiter...könnt ihr mir vielleicht einen kleinen Tipp geben oder mir sagen, ob ich es überhaupt bisher richtig verstanden habe?

Wäre super smile

smile

Viele Grüße,
Chris

edit: Komme ich vielleicht so am ehesten weiter, wenn ich mir das mit den Permutationen so vorstelle, dass ich spalten- oder zeilenweise ein Element pro Spalte bzw. Zeile für das Produkt "auswählen" darf? Also dass ich quasi t-mal (weil es ja auf der Nebendiagonalen t viele Einser gibt) zwischen Haupt und Nebendiagonale "hin und her" springen darf? Ich hoffe ihr versteht, was ich meine unglücklich

unglücklich

13.05.2010, 13:13

tigerbine

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Rückfrage.
Die Matrix ist also in Dreiecksform? Sogar noch spezieller, schon in JNF?

[Artikel] Jordansche Normalform

[User-Tutorial] LaTeX für Anfänger

13.05.2010, 13:19

chris0806

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RE: Rückfrage.
boa, das ging ja schnell mit der Antwort smile

smile

Ja das mit der Dreiecksform hatte ich mir als erstes gedacht, nur was haben dann die Einser und Nuller auf der Nebendiagonalen für eine Relevanz?

Dann wäre das charakteristische Polynom dieser Matrix ja einfach nur $\begin{eqnarray*} (T-lamda)^{n} \end{eqnarray*}$ ...aber wieso dann das mit den t vielen Einsern auf der Nebendiagonalen?

Jordan haben wir noch nicht besprochen; würde die Aufgabe daher gerne anders lösen.

Danke für die tollen Links smile

smile

13.05.2010, 13:28

tigerbine

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RE: Rückfrage.
Wenn es eine Dreiecksmatrix ist, dann stehen die EW (=Nullstellen des Ch.P) ja auf der Diagonalen. Ferner ist die det(A-tI) dann doch leicht zu berechnen, wie du auch schon gesagt hast.

Damit kennen wir aber nur die algebraische Vielfachheit der EW von A. Die Einser auf der ND geben Aufschluss über die geometrische Vielfachheit.

Ich werfe auch mal den Begriff Minimalpoynom in den Raum.

http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform

13.05.2010, 13:35

chris0806

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RE: Rückfrage.
also das charakteristische Polynom ist dann tatsächlich nur $\begin{eqnarray*} (T-lamda)^n \end{eqnarray*}$ ?

die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts lamda also n?

Okay, dann werde ich mich mal an die geometrische Vielfachheit ranwagen, da werde ich nun von alleine draufkommen smile

smile

Ich danke dir für die schnelle und gute Hilfe smile

smile

13.05.2010, 13:46

tigerbine

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RE: Rückfrage.
Ist denn auch nach der geom. Vielfachheit gefragt?

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13.05.2010, 13:59

chris0806

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RE: Rückfrage.
ja, nach der ist auch gefragt, das hatte ich im Startpost vergessen zu erwähnen^^

Werde mich heute abend mal drüber machen; wenn ich nicht dahinter komme, würde ich mich hier nochmal melden smile

smile

13.05.2010, 14:02

tigerbine

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RE: Rückfrage.
Alles klar!

13.05.2010, 22:18

chris0806

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RE: Rückfrage.
so, habs rausgefunden, hätte aber noch eine andere Frage zu diesem Thema und möchte deswegen nicht einen Extra-Thread öffnen:

Wir sollen zeigen, dass "Chi" $\begin{eqnarray*} _{AB} \end{eqnarray*}$ = "Chi" $\begin{eqnarray*} _{BA} \end{eqnarray*}$ ist, mit A und B aus K $\begin{eqnarray*} ^{n,n} \end{eqnarray*}$ und eine der beiden Matrizen invertierbar.

Wären A und B ähnliche Matrizen, wäre die Aufgabe kein Problem, aber so komme ich auf keine Lösung.

Mein Ansatz bisher:
Ich dachte anfangs, dass das ziemlich leicht ist, da (so dachte ich) "Chi" $\begin{eqnarray*} _{AB} \end{eqnarray*}$ = (det(TE $\begin{eqnarray*} _{n} \end{eqnarray*}$ -A)(det(TE $\begin{eqnarray*} _{n} \end{eqnarray*}$ -B)) ist und Determinanten ja nichts anderes als Zahlen sind, und diese über K natürlich kommutativ bzgl. der Multiplikation sind und man die Faktoren einfach vertauschen könnte, woraus sich dann "Chi" $\begin{eqnarray*} _{BA} \end{eqnarray*}$ ergäbe.

Aber diese Lösung schien mir zu "billig" und ist höchtswahrscheinlich auch falsch, oder?

Mein 2. Ansatz:
Da o.E. gelte AA $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ = E $\begin{eqnarray*} _{n} \end{eqnarray*}$ könnte ich ja bei den auftretenden E $\begin{eqnarray*} _{n} \end{eqnarray*}$ immer AA $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Komme ich so weiter?

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte smile

smile

13.05.2010, 22:32

tigerbine

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RE: Rückfrage.
spoiler

Bei deiner ersten Idee, die t zieht man auf der Diagonalen der Produktmatrix ab, nicht auf den einzelnen Matrizen und bildet dann das Produkt.

Ferner sind die det doch hier Polynome, und nicht reele Zahlen. Dennoch kommutieren sie. Aber das ist nicht der richtige Ansatz. Du hast do nur gesezit dass gilt char(A)*char(B)= char(B)*char(A). Danach war nicht gefragt.

13.05.2010, 22:49

chris0806

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RE: Rückfrage.

Zitat:

Original von tigerbine
spoiler

Hmm...wenn du da den letzten Punkt samt Beweis meinst, dann muss ich leider sagen, dass ich damit nichts anfangen kann, ich weiss ja nichtmal, wo die Matrixgleichungen im Beweis herkommen^^

Zitat:

Bei deiner ersten Idee, die t zieht man auf der Diagonalen der Produktmatrix ab, nicht auf den einzelnen Matrizen und bildet dann das Produkt.

Was meinst du da mit Produktmatrix?

Zitat:

Ferner sind die det doch hier Polynome, und nicht reele Zahlen. Dennoch kommutieren sie. Aber das ist nicht der richtige Ansatz. Du hast do nur gesezit dass gilt char(A)*char(B)= char(B)*char(A). Danach war nicht gefragt.

aber ist denn nicht char(AB) = char(A)*char(B)?
denn dann würde es ja doch stimmen?

Was mich irritiert, warum steht in der Aufgabenstellung, dass eine der beiden Matrizen invertierbar sein muss / ist?

13.05.2010, 22:51

tigerbine

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RE: Rückfrage.

Zitat:

Original von chris0806
aber ist denn nicht char(AB) = char(A)*char(B)?
denn dann würde es ja doch stimmen?

Wo hast du das her?

13.05.2010, 22:59

chris0806

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RE: Rückfrage.

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Original von chris0806
aber ist denn nicht char(AB) = char(A)*char(B)?
denn dann würde es ja doch stimmen?

Wo hast du das her?

ups, ich merke gerade auch, dass das Blödsinn ist, habs gerade auf nem Zettel probiert.

Hättest du vielleicht einen kleinen Tipp für mich? Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2010, 23:21

tigerbine

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RE: Rückfrage.
Also sei nun mal B die invertierbare Matrix. Das könnte man benutzen. Du hast es aber imho an der falschen Stelle einsetzen wollen. Wir schieben eine 1 ein

Es ist dann $\begin{eqnarray*} BA = BAI = BABB^{-1} = B(AB)B^{-1} \end{eqnarray*}$

Was sagt uns diese Zeile?

13.05.2010, 23:45

chris0806

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RE: Rückfrage.

Zitat:

Original von tigerbine
Also sei nun mal B die invertierbare Matrix. Das könnte man benutzen. Du hast es aber imho an der falschen Stelle einsetzen wollen. Wir schieben eine 1 ein

Es ist dann $\begin{eqnarray*} BA = BAI = BABB^{-1} = B(AB)B^{-1} \end{eqnarray*}$

Was sagt uns diese Zeile?

aha, der Vorgang leuchtet mir ein.

Also könnte man doch von vorne herein sagen, dass:

$\begin{eqnarray*} det(BA) = det(BAI) = det(BABB^{-1}) = det(B(AB)B^{-1}) \end{eqnarray*}$
und dann:
$\begin{eqnarray*} ... = detB*det(AB)*det(B^{-1}) = detB*detB^{-1}*det(AB) = detE{_n}*det(AB) = 1*det(AB) = det(AB) \end{eqnarray*}$

stimmt das nun? geschockt

geschockt

13.05.2010, 23:47

tigerbine

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RE: Rückfrage.
Wie wollten nicht der(BA)=det(AB) zeigen. Nochmal, was sagt die Zeile

$\begin{eqnarray*} BA = BAI = BABB^{-1} = B(AB)B^{-1} \end{eqnarray*}$

13.05.2010, 23:56

chris0806

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RE: Rückfrage.

Zitat:

Original von tigerbine
Wie wollten nicht der(BA)=det(AB) zeigen. Nochmal, was sagt die Zeile

$\begin{eqnarray*} BA = BAI = BABB^{-1} = B(AB)B^{-1} \end{eqnarray*}$

oh, bin da etwas durcheinander gekommen, sorry, ich arbeite gerade an 2 Aufgaben gleichzeitig.

sie sagt uns, dass das Produkt der Matrizen A und B gleich B(AB)B $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ ist, wenn B invers zu B $\begin{eqnarray*} ^-1 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn der Rang von B (bzw. n) jetzt 1 wäre, dann könnte man einfach sehen, dass obige Gleichung =AB ist...aber für n>1 kann man ja nicht kommutieren unglücklich

unglücklich

13.05.2010, 23:59

tigerbine

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RE: Rückfrage.
Nein. Vorhin hast du noch 'gejammert' ... ach wären die Matrizen doch ..... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine Ausführungen zum Rang verstehe nicht. B ist invertierbar und hat daher vollen Rang. Aber das brauche ich doch für meine Zeile. Warum habe ich am Ende wohl die Klammern gesetzt?

14.05.2010, 00:06

chris0806

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RE: Rückfrage.

Zitat:

Original von tigerbine
Nein. Vorhin hast du noch 'gejammert' ... ach wären die Matrizen doch ..... Augenzwinkern

Augenzwinkern

meinst Du ähnlich?
Ähnliche Matrizen haben ja den gleichen Rang (Bedingung erfüllt) und die selbe Determinante und es gäbe SBS $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ = A.

Zitat:

Deine Ausführungen zum Rang verstehe nicht. B ist invertierbar und hat daher vollen Rang. Aber das brauche ich doch für meine Zeile. Warum habe ich am Ende wohl die Klammern gesetzt?

Ja ich weiss, worauf du im letzten Schritt hinaus willst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber kann man einfach sagen, dass B(AB)B $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ = AB ist?

14.05.2010, 00:16

tigerbine

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RE: Rückfrage.
Es gibt einen Satz der besagt, dass ähnliche Matrizen dasselbe char. Polynom haben. Nun, wann sind Matrizen ähnlich?

$\begin{eqnarray*} BA = B(AB)B^{-1} \end{eqnarray*}$

Reihenfolge beachten!

Zitat:

Aber kann man einfach sagen, dass B(AB)B $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ = AB ist?

nein.

14.05.2010, 00:22

chris0806

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RE: Rückfrage.

Zitat:

Original von tigerbine
Es gibt einen Satz der besagt, dass ähnliche Matrizen dasselbe char. Polynom haben. Nun, wann sind Matrizen ähnlich?

$\begin{eqnarray*} BA = B(AB)B^{-1} \end{eqnarray*}$

Reihenfolge beachten!

Zitat:

Aber kann man einfach sagen, dass B(AB)B $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ = AB ist?

nein.

2 Matrizen sind ähnlich, wenn es $\begin{eqnarray*} A = SBS^{-1} \end{eqnarray*}$ gibt.

Dann würde letzter SChritt bedeuten, dann BA ähnlich zu AB ist, also das gleiche charakteristische Polynom haben.

Sag bitte, dass das jetzt endlich stimmt unglücklich

unglücklich

^^

14.05.2010, 00:24

tigerbine

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RE: Rückfrage.
Ja, so stimmt das.

14.05.2010, 00:27

chris0806

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RE: Rückfrage.
ahh super smile

smile

ich bedanke mich herzlich für deine Geduld und deine Hilfe und wünsche Dir noch eine gute Nacht smile

smile

edit: jetzt weiss ich natürlich, wie man die Aufgabe löst, danke

13.06.2010, 12:04

Evelyn89

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Hallo! Ich muss gerade eine sehr ähnliche Aufgabe bearbeiten und zwar muss ich auch zeigen, dass

AB und BA das gleiche charakteristische Polynom haben.

Der Haken ist nur, dass ich nicht voraussetzen darf, dass A,B invertierbar sind... traurig

traurig

D.h. ich muss den Beweis anders führen. Hat jemand vielleicht eine Idee??

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