Reihen konvergenz

13.05.2010, 14:59

bandchef

Reihen konvergenz

Hi Leute!

Ich hab folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ich soll hier nun die Werte bestimmen für diese der Ausdruck konvergiert. Könnt ihr mir helfen?

13.05.2010, 15:07

apfelBaum

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Soweit ich das sehe auf den ersten Blick, versuche mal das k "rauszuziehen", also so, dass du dann durch das $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ teilen kannst.
Dann dürftest du erkennen um welche Reihe es sich handelt. :-)

13.05.2010, 15:14

bandchef

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Das einzige was ich mir vorstellen kann ist das hier:

$\begin{eqnarray*} (a^2+1)^-k*a^{2k} \end{eqnarray*}$ aber jetzt gehts ja auch nicht mehr weiter

13.05.2010, 15:25

apfelBaum

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$\begin{eqnarray*} a^{2k} = (a^2)^k \end{eqnarray*}$
Ich hoffe es hilft weiter.

13.05.2010, 15:37

bandchef

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Wenn nun gilt das von dir oben geschriebene gilt, dann darf ich doch das Wurzelkrikterium anwenden, oder? Das steht bei mir jetzt auf'm Blatt so da:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^k}=\frac{(a^2)^k}{(1+a^2)^k}=\sqrt[k]{\frac{(a^2)^k}{(1+a^2)^k}}=\frac{a^2}{1+a^2}<1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: Die Reihe konvergiert gegen 1 für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

EDIT: Grundsätzliche Frage: Hab ich hier jetzt vom aufschreiben her gesehen irgend einen Syntaxfehler gemacht? Muss man das Summenzeichen, wie z.B. den limes, vor jeder Umformung mitführen?

13.05.2010, 15:47

apfelBaum

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Das Summenzeichen muss man wie den Limes immer davor schreiben.
Gab bei uns immer halben Punkt abzug.
Grundsätzlich immer machen, sieht schöner aus. ;-)
Die Aufgabe müsste soweit stimmen. Wenn jemand was bemerkt hat, natürlich gerne melden.

13.05.2010, 15:57

tibhar

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Also das Wurzelkriterium sagt doch nichts darüber aus, wohin die Reiche konvergiert, sondern nur ob.

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{(a^2)^k}{(1+a^2)^k}|}<1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(a^2)^k}{(1+a^2)^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert absolut

17.06.2010, 19:32

flixe

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hey leute,
sitze grad an einer ähnlichen aufgabe und wollte mal fragen: was muss ich machen, wenn jetzt zum beispiel im nenner kein ^k steht? sollte ich dann trotzdem das wurzelkriterium anwenden? und wenn ja, wie vereinfacht man das ganze dann, sodass die wurzel im nenner auch noch aufgelöst wird?

17.06.2010, 19:44

Kühlkiste

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RE: Reihen konvergenz

Zitat:

Original von bandchef
Hi Leute!

Ich hab folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ich soll hier nun die Werte bestimmen für diese der Ausdruck konvergiert. Könnt ihr mir helfen?

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^k}=\left(1-\frac 1{1+a^2}\right)^k\leq q^k \ \mbox{mit} \ ~0<q<1 \end{eqnarray*}$

17.06.2010, 19:52

flixe

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@kühlkiste der thread ist schon etwas älter. hatte ihn nur wiederbelebt, weil ich zum selben thema ne frage hatte. würde mich freuen, wenn du die auch beanworten würdest. =)

17.06.2010, 20:04

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Zitat:

Original von flixe
was muss ich machen, wenn jetzt zum beispiel im nenner kein ^k steht?

Redest du von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a^{2k}}{1+a^2} \end{eqnarray*}$ ? Da kannst du doch einfach den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+a^2} \end{eqnarray*}$ herausziehen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a^{2k}}{1+a^2} = \frac{1}{1+a^2} \cdot \sum\limits_{k=1}^\infty (a^2)^k \end{eqnarray*}$ ,

es verbleibt (wiederum) eine simple geometrische Reihe.

17.06.2010, 20:28

flixe

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hmm ja das meinte ich, aber das passt wohl doch nicht so zu der aufgabe, an der ich grad sitze:

für welche x konvergiert die reihe?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{\left(2x-\pi \right)^k }{k\left(k+1\right) } \right) \end{eqnarray*}$

habe es mit dem wurzelkriterium versucht und komme dann nur bis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{2x-\pi }{\sqrt[k]{k\left(k+1\right) } } \end{eqnarray*}$

17.06.2010, 20:34

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Wenn du den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{k} \end{eqnarray*}$ nicht kennst, dann versuch es eben mit dem Quotientenkriterium - der Ausdruck ist leichter.

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