Ungleichung ähnlich Tschebyscheff

13.05.2010, 15:00

Sandy20ms

Ungleichung ähnlich Tschebyscheff

Ich hab hier zwei Ungleichungen zu zeigen:
Sei X eine quadratisch integrierbare Zufallsgröße und $\begin{eqnarray*} c > 0. \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie:
a) $\begin{eqnarray*} P(X - EX \geq c) \leq \frac{VarX+t^2}{(c+t)^2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
b) $\begin{eqnarray*} P(X - EX \geq c) \leq \frac{VarX}{c^2+VarX} \end{eqnarray*}$

Leider fehlt mir da die Idee. Ich könnte mit Tscheby zeigen, dass $\begin{eqnarray*} P(|X - EX| \geq c) \leq \frac{VarX}{c^2} \end{eqnarray*}$ . Nur weiter komme ich nicht.
Ich glaube, dass da irgendwie das quadratisch integrierbar mit eingehen muss, aber keine Ahnung wie

13.05.2010, 16:12

Lord Pünktchen

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RE: Ungleichung ähnlich Tschebyscheff
Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine zentrierte ZV

und $\begin{eqnarray*} A:=\{X \geq c\} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 1_A \end{eqnarray*}$ die zugehörige Indikatorvariable

Zeige: $\begin{eqnarray*} Var(X) + t^2 = E[(X+t)^2] \geq E[(c+t)^21_A] \end{eqnarray*}$ für alle t>0

b) ist ein Spezialfall von a

13.05.2010, 17:05

Sandy20ms

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Ich seh jetzt nicht, was mit diese Aussage bringen würde!
Und was ist eine zentrierte ZufallsVariable?

13.05.2010, 18:37

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Eine Zufallsgröße nennt man zentriert, wenn ihr Erwartungswert gleich Null ist. Eretze also mal gedanklich alle $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ im Beitrag von Lord Pünktchen durch ein $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , und nutze seine Aussagen für $\begin{eqnarray*} Y= X- E(X) \end{eqnarray*}$ (hier dann "dein" $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

) ...

13.05.2010, 18:58

Sandy20ms

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RE: Ungleichung ähnlich Tschebyscheff
ok mir ist nur nicht klar, was mir $\begin{eqnarray*} Var(X) + t^2 = E[(X+t)^2] \geq E[(c+t)^21_A] \end{eqnarray*}$ bringt und zeigen kann ich das auch nicht wirklich traurig

13.05.2010, 19:02

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Reelle Konstanten kann man aus dem Erwartungswert herausziehen:

$\begin{eqnarray*} E[(c+t)^2 1_A] = (c+t)^2 \cdot E(1_A) \end{eqnarray*}$ .

Und wie kann man denn $\begin{eqnarray*} E(1_A) \end{eqnarray*}$ auch anders schreiben? Solltest du wissen, wenn du überhaupt schon mal was von Indikatorvariablen gehört hast. Und falls nicht (was ausgesprochen ärgerlich und auch irgendwie unglaubwürdig wäre), dann rechne es doch aus!

13.05.2010, 20:09

Sandy20ms

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RE: Ungleichung ähnlich Tschebyscheff
$\begin{eqnarray*} E(1_A)=P(Y \geq c) \end{eqnarray*}$ .
damit hab ich dann:
$\begin{eqnarray*} P(A) \leq \frac{VarX+t^2}{(c+t)^2} \end{eqnarray*}$ .
b) [latex]VarX=E(X^2)\geq E(c^2 1_A) = c^2 P(A) [latex].
Nur irgendwie muss ich da jetzt noch die Varianz hinzubekommen

13.05.2010, 20:20

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b) erhältst du, wenn du die rechte Seite von a) bzgl. des ja noch variablen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ minimierst.

Das ganze kannst du als Präzisierung des Vorschlags

Zitat:

Original von Lord Pünktchen
b) ist ein Spezialfall von a

verstehen. Augenzwinkern

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