in L^1, aber nicht f.ü. konvergente Folge

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giles Auf diesen Beitrag antworten »
in L^1, aber nicht f.ü. konvergente Folge
Meine Aufgabe:
"Man finde ein Beispiel für eine Funktionenfolge auf einem Maßraum , die im Mittel gegen eine Funktion konvergiert, d.h. , die aber nicht f.ü. konvergiert. "


Meine Ideen:
Naja, kann man bei sowas groß Ideen haben? Mit diesen Ratespiel-Aufgaben werde ich mich wohl nie anfreunden. Ich habe bisher ein Beispiel für das Gegenteil gefunden, d.h. f.ü. konv aber nicht im Mittel, aber das hilft mir nicht.

Aus der Vorlesung gehen für die Folge 2 Dinge hervor:
- Es muss zumindest eine konvergente Teilfolge existieren.

-Es muss gelten:


sonst würde schon f.ü. Konvergenz folgen, die Folge sollte also zumindest nicht monoton sein.

Online Recherche liefert immer wieder das gleiche Beispiel: stelle n eindeutig dar als mit und und definiere



das ist mir aber ehrlich gesagt zu speziell. Erst mal würde ich da nie drauf kommen und zweitens muss es doch auch offensichtlichere Beispiele als dieses eine geben, wenn das schon eine Aufgabe ist.
Weiß jemand eine oder kann mich auf den rechten Pfad führen?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
-Es muss gelten:


macht nicht sehr viel Sinn, wenn nach Voraussetzung auf einer Menge von positivem Mass nicht konvergieren soll. Augenzwinkern

Ja, hab die Aufgabe auch schon gesehen und nie ein anderes Beispiel als dieses gefunden. Aber ich überleg's mir auch mal. Vielleicht könnte man ja mal über andere Masse oder sogar Räume nachdenken (z.B. Zählmass auf ).

Sollte ich was rauskriegen, meld ich mich dann nochmal. Wink
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube inzwischen, dass diese Funktion eine der einfachsten ist, die man sich ausdenken kann.

Denn man will ja etwas in der Art haben:

Man nimmt sich eine Menge mit Mass >0 und will darauf eine Funktionenfolge konstruieren, welche an keinem Punkt konvergiert und gleichzeitig gegen Null strebt im 1-ten Mittel.

Deine Folge erfüllt dies ja gerade und erfüllt somit in gewisser Weise die Minimalanforderungen.

Ein anderes (aber sehr ähnliches) Beispiel wäre:



und nun definiere



wobei die charakteristische Funktion von A ist.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte ich schon befürchtet... naja, dann schreib ich halt, dass ich nichts besseres als das Standardbeispiel gefunden hab. Ich werds jedenfalls nicht abschreiben nur um was zu haben Augenzwinkern


Danke aber für deine Anregungen und Anstrengungen Freude
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von giles
und zweitens muss es doch auch offensichtlichere Beispiele als dieses eine geben,

Hast du dir mal die Mühe gemacht, dir diese Funktionenfolge richtig bildlich vorzustellen? Die kann man sich als eine Abfolge von "Nadeln" vorstellen, die immer wieder das Intervall [0,1] durchlaufen, und sich in jedem Durchlauf von der Breite her "halbieren". Viel einfacher geht's nicht, da muss ich gonnabphd zustimmen. In der Art und Weise solltest du versuchen, solche Beispiele zu verstehen, ansonsten wird das

Zitat:
Original von giles
Erst mal würde ich da nie drauf kommen

immer so bleiben.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Hast du dir mal die Mühe gemacht, dir diese Funktionenfolge richtig bildlich vorzustellen?

Ja. Mit durchdenken, Bildchen malen, plotten, limsup und liminf untersuchen und den ganzen Späßen.

Ich habe auch erst gefragt nachdem ich mehr als 2 Stunden über die Aufgabe nachgedacht hab, mit Kommilitonen in der Uni diskutiert und im Internet nach Ideen gesucht hab.
Insgesamt ich nicht nachvollziehen, wieso du mir die "wenn du so weiter machst, wird das nie was"-Ansprache gibst...
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das war schlicht die Reaktion auf

Zitat:
Original von giles
muss es doch auch offensichtlichere Beispiele als dieses eine geben

was mir deutlich zu wehleidig rüberkam.
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