integration e-fkt mit potenzierter integrationsvariable

29.10.2006, 14:35

Wing

integration e-fkt mit potenzierter integrationsvariable

hallöchen,

bin eigentlich das erste mal hier - allerdings leider etwas verzweifelt. sitze grad an ner seminararbeit fest wo ich folgendes allgemeines integral lösen muss (also stammfunktion herleiten):
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~\exp(ax^b)~dx \end{eqnarray*}$

wen es interessiert: es handelt sich hier um die verallgemeinerte "ausgerechnete" form der weibull-funktion zur berechnung des kleinsten erwartungswertes zweier ausfallwahrscheinlichkeiten von maschinen (produktionsplanung).
ausgehend von
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(min(x_1,x_2)) = \int_{0}^{\infty}~\exp(-x_1\cdot t^\beta) \cdot \exp(-x_2\cdot t^\beta)~dt \end{eqnarray*}$

wobei der parameter "beta" eine spezifische konstante ist, folgt nach umformung

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~\exp((-x_1+x_2) \cdot t^\beta)~dt \end{eqnarray*}$

wo nun praktischerweise ne passende stammfunktion her müsste Hammer

die mir bekannten verfahren wie substitution und partielle integration scheitern bereits an den ausgangsbedindungen. scheint hier also eher ein fall des "sehens der lösung" zu sein.

wenn mir da also jemand von euch weiterhelfen könnte wäre das supi Gott

29.10.2006, 15:29

Abakus

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RE: integration e-fkt mit potenzierter integrationsvariable
**** verschoben zur Stochastik (da W-Theorie) ****

Grüße Abakus smile

29.10.2006, 15:36

Mathespezialschüler

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Ich glaube kaum, dass du dazu eine Stammfunktion mithilfe der "elementaren" Funktionen finden wirst!

@Abakus
Ist die eigentliche Frage (die nach dem Integral) nicht doch eher Analysis?!

Gruß MSS

30.10.2006, 13:30

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Für $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$ betrachtest du $\begin{eqnarray*} X\sim \operatorname{Wei}(a,b) \end{eqnarray*}$ mit Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = 1-\exp\left( -ax^b \right), \qquad x>0 \end{eqnarray*}$

und Erwartungswert

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_0^{\infty} ~ (1-F(x)) ~ \dd x = \int\limits_0^{\infty} ~ \exp\left( -ax^b \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Die Substitution $\begin{eqnarray*} t=ax^b \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x= \left( \frac{t}{a} \right)^{1/b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dd x= \frac{t^{1/b-1}}{ba^{1/b}} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ führt zu

$\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{1}{ba^{1/b}} ~ \int\limits_0^{\infty} ~ t^{1/b-1} \cdot e^{-t} ~ \dd t = \frac{1}{ba^{1/b}} ~ \Gamma\left( \frac{1}{b} \right) = a^{-1/b} ~ \Gamma\left( 1+\frac{1}{b} \right) \end{eqnarray*}$

gemäß Definition der Gammafunktion. Soweit, so gut - aber was machst du dann:

Zitat:

Original von Wing
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(min(x_1,x_2)) = \int_{0}^{\infty}~\exp(-x_1\cdot t^\beta) \cdot \exp(-x_2\cdot t^\beta)~dt \end{eqnarray*}$

In einem Atemzug vermischst du Zufallsgrößen mit Parametern, nennst beides $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , das kann nicht gutgehen!

Ich nehme an, du meinst $\begin{eqnarray*} X_1\sim \operatorname{Wei}(a_1,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2\sim \operatorname{Wei}(a_2,b) \end{eqnarray*}$ , in dem Fall kannst du doch einfach so rechnen: Sei $\begin{eqnarray*} X = \min(X_1,X_2) \end{eqnarray*}$ , dann gilt für die Verteilungsfunktion dieser Größe

$\begin{eqnarray*} F_X(t) &=& P(X\leq t) = P(\min(X_1,X_2) \leq t) = 1 - P(\min(X_1,X_2) > t) = 1 - P(X_1 > t, X_2 > t)\\ &=& 1 - P(X_1 > t)\cdot P(X_2 > t) = 1 - \exp\left( -a_1t^b \right)\cdot\exp\left( -a_2t^b \right) = 1 - \exp\left( -(a_1+a_2)t^b \right),\qquad t>0 \end{eqnarray*}$

Folglich gilt $\begin{eqnarray*} X\sim \operatorname{Wei}(a_1+a_2,b) \end{eqnarray*}$ , da muss man (abgesehen von dem obigen) keine weiteren Integrale auswerten...

P.S.: Siehe auch Wikipedia-Eintrag zur Weibullverteilung.

01.11.2006, 18:31

wing

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Danke
Ich hatte nur falsch substituiert. Manchmal ist man halt doch wie auf den kopf gefallen. Jedenfalls konnte ich meine arbeit fertigstellen.

vielen dank!!! Freude

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