Monotonie und Beschränktheit von Folgen

13.05.2010, 16:22

Borucho

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Monotonie und Beschränktheit von Folgen

Meine Frage:
Untersuchen Sie die Folgen (a_{n})_{n\in\IN} auf Monotonie und Beschränktheit.
(a) a_{0}=1, a_{n+1}=-2a_{n}
(b) a_{n}=(\pi/2n)^2, n\ge1

Meine Ideen:
Hallo!
Ich habe mich schon ein bisschen durch das Forum gelesen, bin aber nicht so weit gekommen.
Ich würde rein vom Betrachten der Folge (a) sagen, dass sie monoton fallend ist und unbeschränkt.
Aber wie beweise ich das? Muss ich jetzt eine vollständige Induktion machen?
Mit Induktionsanfang für z.B. a=1, Induktionsvoraussetzung a_{n+1} und Induktionsschluss? Und wenn ja, wie soll das hier gehen?
Wäre sehr dankbar für ein paar Tips!

13.05.2010, 16:28

Mazze

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Zitat:

Ich würde rein vom Betrachten der Folge (a) sagen, dass sie monoton fallend ist und unbeschränkt.

Achso? Schreibe die ersten 3 Folgenglieder auf und erkenne deinen Irrtum.

Die zweite Folge ist aber beschränkt und monoton. Monotonie beweist Du hier ganz klassisch, zeige das

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi}{2n}\right)^2 < \left(\frac{\pi}{2(n + 1)}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Aus der Tatsache das die Folge monoton Fällt kannst Du eine obere Schranke angeben, welche? Für die untere Schranke erinnere dich das dass Quadrat stets nicht negativ ist.

13.05.2010, 16:41

Borucho

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Ich hab keine Ahnung wie ich auf die Folgeglieder komme.
[latex] a_{0}=1 [\latex] ok, aber woher soll ich wissen was
[latex] a_{1} [\latex] ist??

13.05.2010, 17:08

Borucho

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Sind die Folgeglieder einfach
$\begin{eqnarray*} a_{1}=-2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{2}=-4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{3}=-6 \end{eqnarray*}$ ...?

13.05.2010, 17:45

Mazze

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Folgenglied nummer 1 per Definition $\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt $\begin{eqnarray*} a_n = -2*a_{n-1} \end{eqnarray*}$

damit ist

$\begin{eqnarray*} a_2 = -2 * a_{2-1} = - 2*a_1 = -2*1 = -2 \end{eqnarray*}$

und zum Dritten

$\begin{eqnarray*} a_3 = -2*a_{3-1} = -2 * a_2 = -2 * -2 = 4 \end{eqnarray*}$

Die Folge beginnt also mit

1 -2 4

13.05.2010, 21:20

Borucho

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Ah ok, Danke!
Aber wo kommt denn das n-1 bei der gleichung $\begin{eqnarray*} a_{n}=-2*a_{n-1} \end{eqnarray*}$ her?
Weil in der Aufgabenstellung steht doch einfach nur n da...?
Schönen Abend!

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13.05.2010, 23:18

Mazze

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Ob ich

$\begin{eqnarray*} a_n = -2*a_{n-1} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = -2*a_n \end{eqnarray*}$

schreibe ist völlig egal. Mach Dir klar das beide Ausdrücke exakt das gleiche Rekursionsverhalten formulieren.

14.05.2010, 12:45

Borucho

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Ok, dann ist also die Vermutung, dass die Folge unbeschränkt ist (geht ja immer weiter - 1, -2, 4, -8, 16, -32....), aber nicht monoton (geht ja immer hoch und runter...).
Und jetzt folgt der Beweis durch vollständige Induktion?

14.05.2010, 13:02

Borucho

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Ode muss ich zur monotonie überhaupt noch was machen?
Da habe ich ja eigentlich schon mit den Folgegliedern einen Gegenbeweis....

14.05.2010, 13:03

Max Simon

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na wie du nun siehst, ist die rekursiv definierte Funktion äquivalent zur Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N_0}=(-2)^n=(-1)^n2^n \end{eqnarray*}$ .

Dies ist klar, da $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=(-2)^{n+1}=-2(-2)^n=-2a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist hoffentlich klar, dass diese Folge alternierend und somit nicht monoton ist sowie unbeschränkt ist.

14.05.2010, 13:43

Borucho

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Nein, leider ist das damit nicht klar geworden.
Das mit dem $\begin{eqnarray*} (-2)^{n} \end{eqnarray*}$ verstehe ich noch. Ich kann auch nachvollziehen warum die Folge nicht monoton und unbeschränkt ist. Auch dass sie alternierend ist. Aber wie soll ich das beweisen?
Muss das ja irgendwie mathematisch korrekt hinschreiben, einen allg. Beweis oder ähnliches machen.

14.05.2010, 13:49

Max Simon

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Aufgrund der Darstellung $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n2^n \end{eqnarray*}$ ist das alternierende gezeigt. Da kann man nichts weiter beweisen.

Die Unbeschränktheit folgt aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty \end{eqnarray*}$ .

Also nimmt $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ beliebig große und beliebig kleine Werte an. Also ist die Folge unbeschränkt.

Ich wüsste nicht, was da für einen korrekten Beweis noch fehlt.

Du musst es nur noch geordnet aufschreiben.

LG Max

14.05.2010, 14:14

Borucho

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Ok, es macht ja auch Sinn so...
Und das hier $\begin{eqnarray*} a_n=((-1)^n)*(2^n) \end{eqnarray*}$ folgt aus der Potenzregel
$\begin{eqnarray*} (a*b)^2=a^2*b^2 \end{eqnarray*}$ ?

Und zu Aufgabe (b), muss ich da nicht eher zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi}{2n}\right)^2 > \left(\frac{\pi}{2(n + 1)}\right)^2 \end{eqnarray*}$ , anstatt $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi}{2n}\right)^2 < \left(\frac{\pi}{2(n + 1)}\right)^2 \end{eqnarray*}$ ist?
Weil wenn ich mir die ersten 3 Folgeglieder angucken:
$\begin{eqnarray*} a_{1}=(\frac{/pi}{2})^2=\frac{/pi^2}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2}=(\frac{/pi}{4})^2=\frac{/pi^2}{16} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{1}=(\frac{/pi}{6})^2=\frac{/pi^2}{36} \end{eqnarray*}$
werden die ja mit größer werdenden n immer kleiner.

14.05.2010, 17:42

Max Simon

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Zitat:

Original von Borucho
Ok, es macht ja auch Sinn so...
Und das hier $\begin{eqnarray*} a_n=((-1)^n)*(2^n) \end{eqnarray*}$ folgt aus der Potenzregel
$\begin{eqnarray*} (a*b)^2=a^2*b^2 \end{eqnarray*}$ ?

Es folgt aus der Potenzregel $\begin{eqnarray*} (a*b)^x=a^x*b^x\ \forall\ x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und zu Aufgabe (b), muss ich da nicht eher zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi}{2n}\right)^2 > \left(\frac{\pi}{2(n + 1)}\right)^2 \end{eqnarray*}$ , anstatt $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi}{2n}\right)^2 < \left(\frac{\pi}{2(n + 1)}\right)^2 \end{eqnarray*}$ ist?
Weil wenn ich mir die ersten 3 Folgeglieder angucken:
$\begin{eqnarray*} a_{1}=(\frac{/pi}{2})^2=\frac{/pi^2}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2}=(\frac{/pi}{4})^2=\frac{/pi^2}{16} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{1}=(\frac{/pi}{6})^2=\frac{/pi^2}{36} \end{eqnarray*}$
werden die ja mit größer werdenden n immer kleiner.

Da hast du Recht. Die Folge ist monoton fallend.

14.05.2010, 17:44

Borucho

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Oder muss ich zeigen, dass das gerade NICHT geht?
Also so:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi}{2n}\right)^2 < \left(\frac{\pi}{2(n + 1)}\right)^2 \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi}{2n}\right)^2*2(n + 1)^2 < \pi^2 \end{eqnarray*}$ <=>

$\begin{eqnarray*} 2n^2+4<2n^2 \end{eqnarray*}$

Und da dass nicht stimmt, ist die FOlge monoton fallend?

Zudem müsste sie gegen 0 gehen.
Richtig?

14.05.2010, 17:52

Max Simon

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Du kannst es auch so machen, aber dann bitte auch die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in den Nennern quadrieren. Und auch bei der binomischen Formel hast du dich ganz schön vermacht. Äquivalent ist da nix^^.

Die Folge ist eine Nullfolge, denn der Nenner wird beliebig groß bei hinreichend großem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

14.05.2010, 19:26

alfredo

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Ich habe geprüft auf streng monoton steigend und bei mir kommt da raus: 1/n < -2

1/n < -2 ist ein wiederspruch, da n aus den natürlichen Zahlen ist und damit 1/n immer größer 0 und kleiner gleich 1 ist.

Sprich wenn sie nicht monoton steigend ist (bewiesen durch wiederspruch?), muss ich auf einen anderen fall prüfen?
Monoton fallend z.B.
Sodass 1/n > -2

Ist damit bewiesen, dass die Funktion streng monoton fallend ist?
(streng, weil 1/n nie den Wert -2 annehmen kann?)

14.05.2010, 19:41

Borucho

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Ja, da habe ich mich vertan. Habe es nochmal durchgerechnet und rausbekommen habe ich:
8n+4<0
Und da n aus N kommt, ist das ne falsche Aussage.

14.05.2010, 20:26

Max Simon

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Wenn eure Rechnungen stimmen, wäre damit gezeigt, dass die Folge (streng) monoton fallend ist. Ich hab eure Rechnungen jetzt aber nicht überprüft.

15.05.2010, 11:36

Borucho

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Guten Morgen!
Was ist der Unterschied zwischen "streng" und nicht streng monoton?

15.05.2010, 11:49

Borucho

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Und nochmal zur Aufgabe:
Kann ich zu der beschränktheit einfach sagen, dass die Folge nach unter durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ beschränkt ist und nach oben durch [latex] a_{n=1}=(\frac{\pi}{2})^2 ?

15.05.2010, 13:50

Max Simon

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Zitat:

Original von Borucho
Was ist der Unterschied zwischen "streng" und nicht streng monoton?

Streng monoton heißt echt größer oder echt kleiner.

Monoton steigend: $\begin{eqnarray*} \forall m, n \in \mathbb N, m<n: a_m\leq a_n \end{eqnarray*}$ ,
Streng monoton steigend: $\begin{eqnarray*} \forall m, n \in \mathbb N, m<n: a_m < a_n \end{eqnarray*}$ .

Da deine Folge nun (streng) monoton fallend ist, ist sie nach oben durch $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ beschränkt, und da deine Folge nie negativ wird, ist sie nach unten durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ beschränkt.

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