Gruppentheorie: was ist ein "erzeugendes Element C3", wie bilde ich daraus eine Gruppentafel?

13.05.2010, 15:55	Tserton	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentheorie: was ist ein "erzeugendes Element C3", wie bilde ich daraus eine Gruppentafel? Meine Frage: "Gegeben seien die zyklischen Gruppen $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ mit erzeugendem Element $\begin{eqnarray} C_{3} \end{eqnarray}$ und als Verknüpfung die Hintereinanderausführung und $\begin{eqnarray} G_{1} = \left( \left\{{e^{i\frac{2\pi}{3}}}^k, k\in \mathbb N \right\} \right) \end{eqnarray}$ . (i = imaginäre Einheit). Zeigen sie, dass G1 und G2 zueinander isomorph sind, d.h. identische Gruppentafels besitzen." Mein wirkliches Problem ist die Aufgabenstellung. Was sind denn nun die Elemente der Gruppe G1, wie soll man daraus eine Tafel bilden? Meine Ideen: C3 ist in der chemischen Gruppentheorie eine Drehung um eine 3-zählige Drehachse, aber das passt überhaupt nicht, wenn G1 isomorph zu G3 sein soll. Ich hab aus der Definition von G2 auch die Euler'sche Darstellung einer komplexen Zahl erkannt. Das hilft mir aber nicht viel, weil das i ja verschwindet, wenn k gerade ist.
13.05.2010, 15:58	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du vermischt hier irgendwie öfters die Bezeichner G_1,G_2,C_3,G_3 etc. Die Aufgabe ist recht einfach, gebe einen Homomorphismus von der einen Gruppe in die andere an. Wenn du ihn nicht ganz blöd wählst ist dieser bereits ein Isomorphismus
13.05.2010, 16:18	Tserton	Auf diesen Beitrag antworten »
Macht sinn. Aber was ist denn nun die Gruppe G1? Was sind ihre Elemente? (Die e-Funktion sollte G2 heißen).
13.05.2010, 18:47	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gruppe G1 ist die Gruppe $\begin{eqnarray} \{1,C_1,C_1^2\} \end{eqnarray}$ wobei bei den Exponenten von $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ modulo 3 gerechnet wird.

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