Separabeler Banachraum

13.05.2010, 19:34

schmouk

Separabeler Banachraum

Hi,

ich bin ziemlich neu in dem Stoff und habe folgende Aufgabe vor mir:

Für $\begin{eqnarray*} 1\leq p<\infty \end{eqnarray*}$ definieren wir den Banachraum $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} l^p:=\{(x_1,x_2,\hdots ) : x_j\in\mathbb{C}, \Vert x\Vert_p:=(\sum_{j=1}^\infty \vert x_j\vert^p)^{1/p}\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ separabel ist.

Zeigen Sie, dass (für $\begin{eqnarray*} 1\leq p\leq q <\infty \end{eqnarray*}$ ) folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} l^p\subseteq l^q \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert_q\leq \Vert x\Vert_p \end{eqnarray*}$ ,
die Einbettungsabbildung von $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} l^q \end{eqnarray*}$ ist stetig.

Was passiert für $\begin{eqnarray*} 0<p<1 \end{eqnarray*}$ ?

Hm? Ich hab wirklich keine Ahnung. Ich weiß, dass Banachräume separabel heißen, falls eine abzählbare, dichte Teilmenge existiert.

Mit 1 und 3 gilt glaube ich, dass man sagen kann $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ ist beschränk in den Banachraum $\begin{eqnarray*} l^q \end{eqnarray*}$ eingebettet. Gut, bringt mich nicht wirklich weiter. Heißt so, wenn mal gezeigt wurde.

Wenn mir da mal jemande auf die Sprüngt helfen könnte. Das wäre sehr nett.

Grüße,

Schmo

13.05.2010, 22:11

Abakus

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RE: Separabeler Banachraum

Zitat:

Original von schmouk
Für $\begin{eqnarray*} 1\leq p<\infty \end{eqnarray*}$ definieren wir den Banachraum $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} l^p:=\{(x_1,x_2,\hdots ) : x_j\in\mathbb{C}, \Vert x\Vert_p:=(\sum_{j=1}^\infty \vert x_j\vert^p)^{1/p}\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ separabel ist.

Hallo!

Eigentlich möchtest du nur die konvergenten Folgen betrachten? Dann müsstest du deine Menge noch etwas anders schreiben (und die Konvergenz noch einfordern).

Für die Separabilität suche eine möglichst einfache Teilmenge, die natürlich abzählbar sein muss. Einfach könnte zB heißen, dass viele (fast alle) Komponenten gleich 0 sind.

Grüße Abakus smile

14.05.2010, 11:19

schmouk

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RE: Separabeler Banachraum

Zitat:

Original von Abakus

Eigentlich möchtest du nur die konvergenten Folgen betrachten?

Möchte ich das? Keine Ahnung, sollte ich? Ist etwa die Aufgabe auf dem Übungsblatt falsch gestellt? Sind die Elemente Folgen? Kann man das so betrachten. Kann ich jedes unendlich lange Tupel als Folge ansehen?

Bedeutet die Definition dieser Menge $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ das gleiche, wie eine Menge mit Folgen aus C mit dieser oben definierten p-Norm versehen zu definieren?

Was ist z.B. mit der Teilmenge der "konstanten Polynome", also nur in der ersten Komponente ein Element aus C, sonst Nullen. Wie kann ich prüfen, ob die dicht in $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ liegt?

Grüße,

Schmo

14.05.2010, 17:23

Abakus

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RE: Separabeler Banachraum

Zitat:

Original von schmouk

Zitat:

Original von Abakus

Eigentlich möchtest du nur die konvergenten Folgen betrachten?

Du möchtest ja einen normierten (sogar Banach-) Raum haben, wozu du eine Norm brauchst (die auch gleich gegeben ist). Eine Norm soll nun für jeden Vektor aus dem Raum (der ja ein VR sein soll) eine endliche Zahl liefern, die etwas über die "Größe" des Vektors aussagen soll: eben die Norm des Vektors.

Die Frage ist dann, welche Folgen darfst du zulassen, um tatsächlich nur endliche Normen zu bekommen? (sicher keine völlig beliebigen Folgen!)

Dein Übungsblatt hab ich natürlich nicht. Die Elemente von $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ sind Folgen, ja. Und Tupel sind nichts weiter als (Auswahl-) Abbildungen, die dir aus jedem Faktor eines kartesischen Produktes ein Element herausholen.

Zitat:

Bedeutet die Definition dieser Menge $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ das gleiche, wie eine Menge mit Folgen aus C mit dieser oben definierten p-Norm versehen zu definieren?

Ja, so ist es vermutlich gemeint.

Zitat:

Was ist z.B. mit der Teilmenge der "konstanten Polynome", also nur in der ersten Komponente ein Element aus C, sonst Nullen. Wie kann ich prüfen, ob die dicht in $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ liegt?

Wie willst du dich an eine zweite, von Null verschiedene Komponente annähern? Das klappt nicht, die Idee ist aber absolut ausbaufähig: du brauchst in einer dichten Teilmenge also Elemente, die nicht alle in einer Komponente Null sein dürfen.

Grüße Abakus smile

14.05.2010, 22:55

schmouk

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So, erstmal dank, Deine Antworten helfen mir grundsätzlich weiter.

Hab die Teilmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ als dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ verifiziert.

Und dann nehme ich einfach die Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ mit Folgen mit Komponente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und der gleichen Einschränkung an die Norm.

Diese ist dann ebenfalls dicht in $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ , denn ich kann zu einem beliebigen $\begin{eqnarray*} x\in l^p \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vert x_j-y_j \vert <\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ Separabel.

So, jetzt zu $\begin{eqnarray*} l^p\subset l^q \end{eqnarray*}$ mit p,q wie oben definiert. Was muss ich da machen? Also da würde ich sagen ist x in $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ , dann ist die p-Norm von x endlich. Dann ist auch die q-Norm von x endlich. Also $\begin{eqnarray*} x\l^q \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

Schmo

15.05.2010, 00:12

Abakus

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Zitat:

Original von schmouk
Hab die Teilmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ als dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ verifiziert.

Und dann nehme ich einfach die Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ mit Folgen mit Komponente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und der gleichen Einschränkung an die Norm.

Diese ist dann ebenfalls dicht in $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ , denn ich kann zu einem beliebigen $\begin{eqnarray*} x\in l^p \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vert x_j-y_j \vert <\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ Separabel.

Alles richtig, bis auf den letzten Schluß: deine Menge M müsste abzählbar sein, was sie aber nicht ist. ZB ist die Menge der Dualfolgen (die Komponenten sind 0 oder 1) bereits überabzählbar, denn die sind ja ein Modell für unendliche Dualkommazahlen, mit denen sich [0, 1] darstellen lässt. Ein Element von M hätte stattdessen die Komponenten 0 oder echt positiv, was dem wohl (mindestens) entspricht.

Also: das M musst du noch kleiner machen.

Zitat:

So, jetzt zu $\begin{eqnarray*} l^p\subset l^q \end{eqnarray*}$ mit p,q wie oben definiert. Was muss ich da machen? Also da würde ich sagen ist x in $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ , dann ist die p-Norm von x endlich. Dann ist auch die q-Norm von x endlich. Also $\begin{eqnarray*} x\l^q \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

Ja, korrekt; die q-Norm ist sogar kleinergleich der p-Norm (q >= p). Hier wird allerdings bestimmt noch eine ausführlichere Begründung erwartet.

Grüße Abakus smile

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