Fläche einer Ellipse berechnen

13.05.2010, 19:55

Thorsten757

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Fläche einer Ellipse berechnen

Hallo,

ich bräuchte mal einen Ansatz um folgende Aufgabe lösen zu können

Es ist das Bereichsintegral
$\begin{eqnarray*} I=\iint_B \! f(x,y) \, dA \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2} } \end{eqnarray*}$ über den Bereich B, der von der Ellipse $\begin{eqnarray*} C=\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ umschlossen ist zu berechnen.

Es ist eine geeignete Parametrisierung des Integrals zu wählen und der Integrationsbereich ist zu skizzieren.[/quote]

Ich habe eine halbe Ellipse x>=0 gezeichnet, aber wie gehts jetzt weiter?

13.05.2010, 21:43

Abakus

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RE: Fläche einer Ellipse berechnen
Hallo!

Wähle geeignete Koordinaten: welche sind dem Problem angemessen? (die Idee mit den Polarkoordinaten kennst du ja von der Zylinderaufgabe, hier ist es ähnlich)

Grüße Abakus smile

smile

13.05.2010, 22:22

Thorsten757

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ja ich denke Polarkoordinaten könnte man hier verwenden.

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(phi) =\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=r*\cos(phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=r*\sin(phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} \leq phi \leq \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Der Radius ist ja bei einer Ellipse nicht konstant, wie gebe ich dann die Grenzen an?

13.05.2010, 22:40

Abakus

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Zitat:

Original von Thorsten757
$\begin{eqnarray*} x=r*\cos(phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=r*\sin(phi) \end{eqnarray*}$

Ich würde das $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ hier noch geschickt einbeziehen.

Grüße Abakus smile

smile

13.05.2010, 22:53

Thorsten757

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hm, und wie?

13.05.2010, 23:00

Abakus

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Zitat:

Original von Thorsten757
hm, und wie?

So dass du es beim Einsetzen rauskürzen kannst.

Grüße Abakus smile

smile

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14.05.2010, 12:57

Thorsten757

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so?

x=ar*cos(phi)
y=br*sin(phi)

und dann die Jacobi-Determinate anwenden?

14.05.2010, 17:05

Abakus

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Zitat:

Original von Thorsten757
x=ar*cos(phi)
y=br*sin(phi)

und dann die Jacobi-Determinate anwenden?

Ja, genau. Schau mal, wie weit du damit kommst.

Grüße Abakus smile

smile

14.05.2010, 17:18

Thorsten757

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damit erhält man J=abr

und die Funktion wäre dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-r^2} \end{eqnarray*}$

wenn x>= 0, liegt das phi-Integral dann zwischen 0 und pi ?

wie kann man sich denn das vorstellen, sind das zwei Ellipsen übereinander?

bisher habe ich eine halbe Ellipse gezeichnet, wie wird nun die andere gezeichnet?

14.05.2010, 17:33

Abakus

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Zitat:

Original von Thorsten757
bisher habe ich eine halbe Ellipse gezeichnet, wie wird nun die andere gezeichnet?

Der Integrationsbereich ist eine halbe Ellipse, ja. Was die Parametertransformation mit dieser gemacht hat, müsstest du herausfinden: in welchem Bereich variieren $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ? Könnte das ein Rechteck sein (das wäre nämlich für das Integrieren praktisch) ?

Grüße Abakus smile

smile

14.05.2010, 18:08

Thorsten757

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also bei der Transformation ist phi rausgefallen, deshalb bleibt nur noch a*b*r.
ich bin mir jetzt nicht sicher ob r=1 ist
wenn das so ist, habe ich a*b, was einem Rechteck entsprechen würde

Aber in welchem Bereich wäre das einzuzeichnen, und mit welchen Seitenlängen?

14.05.2010, 20:03

Abakus

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Siehe einmal hier: Transformationssatz (Wiki)

Erkennst du hier den Zusammenhang zwischen den Integrationsbereichen? Und kannst du dein Integral einmal genau hinschreiben, mit allen Grenzen dann?

Grüße Abakus smile

smile

14.05.2010, 21:08

Thorsten757

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$\begin{eqnarray*} \int_{phi=0}^\pi \int_{r=0}^1 \! abr(1-r^2)^{1/2} \, dr dphi \end{eqnarray*}$ ?

14.05.2010, 21:32

Abakus

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Zitat:

Original von Thorsten757
$\begin{eqnarray*} \int_{phi=0}^\pi \int_{r=0}^1 \! abr(1-r^2)^{1/2} \, dr dphi \end{eqnarray*}$ ?

Ja, ich sehe allerdings $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ im Bereich von $\begin{eqnarray*} - \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ , was allerdings keinen Unterschied macht hier.
OK, jetzt wäre das auszurechnen.

Grüße Abakus smile

smile

edit: Text, Fehler von mir

15.05.2010, 09:41

Thorsten757

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gut dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{a*b*\pi }{3} \end{eqnarray*}$

und wie kann man sich das jetzt einzeichnen?

von der Fläche her ist das ja 1/3 einer Ellipse, also 2/3 bezogen auf eine halbe Ellipse,
oder wie?

15.05.2010, 13:06

Abakus

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Von der Interpretation her berechnest du weniger eine Fläche, sondern eher ein Volumen: nämlich 1/4 eines Ellipsoids mit den Achsen a, b, und 1.

Du integrierst schließlich nicht über f = 1 (dann wäre es die Fläche), sondern f beschreibt einen Teil eines Ellipsoids.

Wenn du nur ein Ergebnis hinschreibst, ist das nicht nachzuvollziehen, dazu braucht es die explizite Rechnung (das Ergebnis scheint mir aber ok zu sein).

Grüße Abakus smile

smile

16.05.2010, 12:01

Thorsten757

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gut, alles klar

Vielen Dank !

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